【文献阅读】地磁信息稀疏环境的三角匹配方法_地磁图匹配神经网络-优快云博客

论文信息

作者：Qiong Wang, Jun Zhou,
论文标题：Triangle matching method for the sparse environment of geomagnetic information,
期刊信息：Optik, Volume 181, 2019, Pages 651-658, ISSN 0030-4026,
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Abstract

背景：为了提高在磁场信息较少的区域的匹配效果。

改进方案：根据三角形相似性，匹配三角形构建在与训练后的BPNN（反向传播神经网络）地磁地图对应的等磁线信息上，通过修正函数获得最佳匹配参数。

改进效果：为了验证所提出的算法，进行了基于均匀分布和随机分布的仿真实验。通过与ICCP方法的比较，使用蒙特卡洛仿真进一步证明了该算法对噪声的抗干扰能力。

Introduction

研究背景：

地磁导航由于其全天候、全地形、全天候工作、无累积误差等优点，是飞行器导航的关键技术。通过将机载获取的地磁剖面与存储的地磁地图进行比较，可以修正惯性导航系统（INS）的指示轨迹。

存在问题：

地磁导航的准确性不仅与导航算法有关，还与地磁地图的特性密切相关。在磁场特征明显、信息内容丰富的区域进行导航，可以有效提高导航的准确性和实时性。
在一些地方可能无法获得精确的地磁地图，甚至只能获取稀疏点的地磁信息。

改进内容：

本文提出了一种三角匹配算法，通过建立一个三角形模型，该模型基于与训练后的BPNN地磁地图对应的等磁线信息。
然后，通过空间映射来衡量三角形的相似性，从而选择最优匹配的三角形。
最后，通过修正函数获得最佳匹配参数。

Analysis of sparse geomagnetic information environment

地磁匹配的原理类似于广泛应用于飞行器导航系统中的地形匹配。关键是将测得的磁场强度与参考地图进行比较，以找到最相似的点。

当飞行器经过地磁场参考区域时，携带的磁力计收集一组地磁测量数据，并将这组数据与参考地图中对应的多个数据集进行比较。最优匹配即为导航结果。

地磁导航的精度依赖于地磁参考地图的分辨率和准确性，但由于站点分布稀疏或其他原因，先验地磁场数据的网格间距可能较大。由于网格点之间的地磁信息通常通过适当的曲面拟合，因此，如果网格之间的实际地磁值存在波动，那么由稀疏信息建立的地磁场可能不够准确，如图1所示。
稀疏地磁信息环境
当惯性导航轨迹序列通过网格搜索策略进行匹配时，相似性度量标准在很大程度上依赖于匹配步长的设置。

如果匹配所需的地磁地图是基于稀疏网格建立的，而某些匹配点位于网格内，那么匹配精度会受到影响。
- 在稀疏地磁环境下，足够数量的地磁点可能导致较长的匹配距离，从而增加轨迹误差并导致匹配不准确。
- 然而，距离较短时，匹配点可能不足以进行精确匹配。

因此，采用三角匹配算法，可以使用少量的地磁测量值来匹配到下一步的位置。为了使匹配效果更为准确，在三角匹配之前建立了BP神经网络。本文不考虑地磁场的短期变化。

Principle of the triangle matching method

Establishment of regional magnetic model

高精度的局部地磁模型是分析导航的基础。当先验地磁数据稀疏且无法用于地磁导航时，采用BP神经网络（BPNN）建立精确的局部地磁模型。图2展示了一个具有隐藏层的BPNN结构。
具有隐层的BPNN示意图
本文中，模型包括输入层、隐藏层和输出层。

输入层包含两个神经元，分别代表经度和纬度。
输出层包含一个神经元，表示地磁场的测量值。

由于样本较多而输入层的神经元较少，因此选择了两个隐藏层，其中

第一个隐藏层的神经元数量根据经验选择。
第二个隐藏层的神经元数量通过交叉验证方法确定。

此外，激活函数选择了Sigmoid型正切函数，BPNN训练算法采用了Levenberg-Marquardt训练算法，因为该算法具有较快的收敛速度和较小的网络训练误差。

Triangle matching algorithm

三角匹配算法广泛应用于星图识别，利用全等三角形的原理作为匹配和识别标准。

三角星图识别算法是通过选择视场中的三颗恒星形成一个观察三角形，然后以三角形的角距或三边长作为特征量，在相应的导航特征库中进行匹配和识别。

对于地磁匹配而言，它尝试匹配一个由地磁等高线上的匹配点构成的三角形。

Similar triangle matching

匹配轨迹的插图

三角匹配算法以匹配点的距离作为匹配特征，通过匹配地磁等高线上的最近点距离完成三角匹配。当磁力计在参考区域获得三个连续的地磁信息点时，可以将这三个点（H1, H2, H3）设置为参考地图中的搜索中心，从而在等高线Ci上找到对应的等效点，如图3所示。搜索范围可以通过INS位置的估计误差来确定。对应于H1、H2和H3的三个匹配集合（X1, X2, X3）可以如下设置：

公式（1）解析

$X_i = \{X_{i,1}, X_{i,2}, \dots, X_{i,k}\}, \quad (i = 1, 2, 3)$

变量定义：
- $H_1, H_2, H_3$ 是测量得到的连续三点的地磁数据，作为匹配点的搜索中心。
- $X_{i,j}$ 表示在参考地图上的等值线 $C_i$ 上搜索到的可能匹配点集合，集合中每个点都是候选点。
- $k$ 是搜索过程中找到的候选匹配点的数量。
公式功能：
- 公式的关键目的是将搜索到的等值线候选点明确表达为集合形式，为后续的三角形匹配算法提供基础。
- 这些候选点将用于构建三角形，与导航三角形进行匹配和优化，从而实现导航定位。

在实际应用中，由于地磁传感器测量精度和惯性导航定位精度的限制，实际匹配中允许一定的匹配容差。在与导航三角形匹配时，匹配三角形需要满足以下约束条件。

公式（2）解析

$\begin{cases}|X_{1,i}X_{2,j}-H_1H_{2,}|<R\\|X_{2,j}X_{3,k}-H_2H_3|<R\\|X_{1,i}X_{3,k}-H_1H_3|<R\end{cases}$

符号说明：
- $X_i, X_j, X_k$ ：候选匹配点集中的点。
- $H_i, H_j, H_k$ ：导航三角形中实际的测量点。
- $X_i - X_j|$ 和 $H_i - H_j|$ ：分别表示候选点之间的距离和导航点之间的距离。
- $R$ ：允许的匹配误差范围，称为距离误差约束。
约束条件：
- 每个候选匹配点集中的点 $X_i$ 与导航三角形的点 $H_i$ 应满足距离约束，即对应的边长误差不能超过允许范围 $R$ 。
- 公式分别对三角形的三条边（ $X_i - X_j|$ 、 $X_j - X_k|$ 和 $X_i - X_k|$ ）施加约束，确保匹配三角形与导航三角形之间的形状接近。
物理意义：
- 在匹配过程中，测量误差和惯性导航系统 (INS) 的位置误差会导致候选点和实际点之间存在偏差。
- 公式 (2) 引入误差容忍范围 $R$ ，允许一定的偏差，但保证偏差在合理范围内，从而提高匹配的容错性。
- 其中， $R$ 是距离误差的约束条件。由于搜索范围 $n$ 是匹配过程中主要的距离误差来源，因此 $R$ 可以设置为 $R = n$ 。然后，可以根据相似性准则，从匹配三角形集合 $\{\triangle X_1X_2X_3\}$ 中选择出最优三角形。

三角形匹配方法的示意图如图 4 所示。
三角形匹配方法图
定义导航三角形 $\triangle H_1H_2H_3$ 的三条边，其中 $H_1H_2 = a$ , $H_2H_3 = b$ , $H_1H_3 = c$ 。 $c$ 表示 $\triangle H_1H_2H_3$ 的最长边。假设三角形的最长边为单位长度，其余两条边可以通过以下公式进行归一化，归一化结果表示为三角形的特征点 $P (x, y)$ ：

$x = a / c, y = b / c$

同样，匹配三角形 $\triangle X_1X_2X_3$ 的对应三条边和特征点分别为 $a^{'}$ 、 $b^{'}$ 、 $c^{'}$ 和 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 。 $\triangle H_1H_2H_3$ 和 $\triangle X_1X_2X_3$ 之间的相似性 $\epsilon$ 可以通过以下公式描述：

公式（4）解析

$\epsilon = \frac{|P - P'|}{D_p}$

变量解释：
- $P (x, y)$ 和 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ：分别是导航三角形 $\triangle H_1H_2H_3$ 和匹配三角形 $\triangle X_1X_2X_3$ 的特征点坐标。每个三角形的特征点是通过对三条边进行归一化得到的。
- 特征点 $P$ 和 $P^{'}$ 是用来表示三角形形状特征的坐标。
- $∣ P - P^{'} ∣$ ：表示导航三角形和匹配三角形特征点之间的欧几里得距离。这个距离衡量了两个三角形之间形状的差异。
- $D_p$ ：是特征点 $P$ 和 $P^{'}$ 之间的欧几里得距离。
公式意义:
- 公式 (4) 计算了两个三角形之间的相似性，具体来说，通过特征点之间的距离来衡量两三角形的形状是否一致。如果 $\epsilon$ 值越小，表示两三角形越相似；如果 $\epsilon$ 值较大，则表示两三角形形状差异较大。

Determining motion parameters for registration

由于测量误差，在搜索匹配三角形时需要一定程度的容错性，但这种容忍度会导致匹配三角形与由惯性导航系统（INS）位置形成的三角形之间的形状发生轻微变化。为了应对这个问题，需要求解匹配三角形的参数。

匹配三角形的翻译和旋转

在不考虑传感器测量误差和地磁场短期变化的情况下，INS 指示的 $H_i$ 和实际位置 $L_i$ 可以通过平移和旋转进行转换，如图 5 所示，这可以通过公式 (5) 求解：

公式（5）解析

$L_i=t+H_iR=\begin{pmatrix}t_x&t_y\end{pmatrix}+H_i\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$

含义解析：
- $L_i$ ：表示实际位置的坐标。
- $H_i$ ：表示 INS 系统指示的位置信息。
- $t$ ：平移向量，它表示 INS 指示位置与实际位置之间的偏移量。
- $R$ ：旋转矩阵，用于描述 INS 系统位置与实际位置之间的旋转关系。
物理意义：
- 平移： $t_x$ 和 $t_y$ 表示 INS 系统的坐标与实际坐标之间的固定偏移。这通常是因为 INS 系统在计算位置时的系统误差。
- 旋转：旋转矩阵 $R$ 描述了 INS 系统坐标系与实际坐标系之间的旋转关系。 $R$ 矩阵通过角度 $\theta$ 对 INS 系统的坐标 $H_i$ 进行旋转，使其与实际坐标系对齐。
应用：
- 公式 (5) 通过平移和旋转，将 INS 系统的指示位置 $H_i$ 转换为实际位置 $L_i$ 。这个转换过程需要根据已知的平移向量 $t$ 和旋转矩阵 $R$ 来进行。通过这种方式，可以纠正 INS 系统由于测量误差和方向偏差导致的定位误差，从而得到更准确的实际位置。

定义三角形 $\triangle H_1H_2H_3$ 的质心为 $H_0$ ， $H_i'$ 是相对于它们质心的相对矩阵。

公式（6）解析

公式 (6) 通过平移和旋转将 INS 系统的位置 $H_i$ 转换为相对于三角形质心 $H_0$ 的位置。公式如下：

$H_{i}^{'} = t + H_0 + (H_i - H_0)R$

含义解析：
- $H_{i}^{'}$ ：表示经过平移和旋转后的 INS 系统指示的位置，调整后的实际位置。
- $t$ ：平移向量，表示 INS 系统与实际位置之间的偏移。这个偏移是相对于质心 $H_0$ 的平移。
- $H_0$ ：三角形 $\triangle H_1H_2H_3$ 的质心。质心 $H_0$ 是三角形顶点坐标的平均值，表示三角形的几何中心。
- $H_i$ ：表示 INS 系统原始的指示位置。
- $R$ ：旋转矩阵，它将 INS 指示的坐标 $H_i$ 相对于质心 $H_0$ 进行旋转，使得它与实际位置对齐。
- $H_i - H_0)$ ：这是 INS 系统位置 $H_i$ 相对于质心 $H_0$ 的偏移量。通过这种方式，所有位置都相对于三角形的几何中心进行计算，避免了位置误差的影响。
物理意义：
- 平移：通过平移向量 $t$ 来调整 INS 系统与实际坐标之间的偏移。
- 旋转：旋转矩阵 $R$ 用于调整 INS 系统的方向，使其与实际坐标系对齐。通过旋转， $H_i$ 会绕质心 $H_0$ 旋转，得出一个新的位置。
- 相对位置调整： $H_i - H_0)$ 表示位置 $H_i$ 相对于质心 $H_0$ 的偏移，旋转矩阵 $R$ 对这个偏移进行旋转，确保最终的匹配精度。
应用：
- 公式 (6) 通过首先将 INS 指示位置 $H_i$ 转换为相对于质心 $H_0$ 的位置，然后应用旋转和平移，得出调整后的实际位置 $H_{i}^{'}$ 。这种方式保证了 INS 系统位置与实际位置的对齐，修正了由于测量误差和方向偏差带来的误差，从而提供更精确的定位。

为了找到最合适的位置，将匹配三角形与 INS 三角形之间对应点的距离的平方和设为最小。因此，求解该转换的最小二乘解可以通过求解 Procrustes 问题来得到。成本函数可以写为：

公式（7）解析

$e^{2} = \sum_{i=1}^{3} \| X_{i} - H_{i}^{\prime} \|^{2} = \sum_{i=1}^{3} \| X_{i} - t - H_{0} - (H_{i} - H_{0})R \|^{2}$

含义解析：
- $e^2$ ：表示匹配误差的平方和，也称为成本函数或误差函数。该值越小，表示匹配效果越好。
- $\sum_{i=1}^{3}$ ：表示对三角形的三个顶点进行求和，即对匹配三角形和 INS 三角形的每个对应点的误差进行求和。
- $\| X_{i} - H_{i}^{\prime} \|^2$ ：表示三角形顶点 $X_i$ 和 INS 系统的调整位置 $H_i'$ 之间的距离的平方。这个距离量化了三角形顶点之间的差异，表示两个三角形在位置上的不匹配程度。
- $X_{i} - t - H_{0} - (H_{i} - H_{0})R \|^2$ ：这是一个更详细的表达式，表示 INS 指示位置 $H_i$ 在经过平移 $t$ 和旋转 $R$ 后，与匹配点 $X_i$ 之间的误差。
物理意义：
- 误差平方和：公式通过计算匹配三角形 $X_i$ 和调整后 INS 三角形位置 $H_i'$ 之间的距离平方和，量化了两个三角形之间的差异。这个值越小，表示两者之间的形状和位置差异越小，匹配越精确。
- 平移与旋转的影响：通过引入平移向量 $t$ 和旋转矩阵 $R$ ，公式不仅考虑了位置偏移，还考虑了方向偏差对匹配结果的影响。调整后的 INS 位置应尽量与匹配三角形的相应位置对齐，从而最小化误差。
应用：
- 公式 (7) 是最小化匹配误差的关键步骤。通过最小化误差平方和，可以求解出最佳的平移向量 $t$ 和旋转矩阵 $R$ ，使得 INS 系统的位置和方向尽可能与实际位置对齐。这种方法基于最小二乘法，可以有效地解决配准问题，找到最佳的匹配结果。

通过将公式 (7) 中关于 $t$ 的偏导数设置为零，可以得到平方和的最小值，从而得到：
$t=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3} [X_{i}-H_{0}-(H_{i}-H_{0})R]=X_{0}-H_{0}$
其中： $X_{0} = \Sigma X_{i}/3, H_{0} = \Sigma H_{i}/3.$

将公式 (8) 代入公式 (7)，并定义 $\gamma_i = X_i - X_0$ ， $\eta_i = H_i - H_0$ ，则公式 (7) 可以重新写为：
$J=e^{\mathrm{T}}e=(\gamma-\eta R)^{\mathrm{T}}(\gamma-\eta R)$

定义 $\Lambda = \eta^T \eta$ 。当 $\Lambda$ 非奇异时，旋转矩阵 $R$ 的最小二乘估计为公式 (10)。
$R=(\eta^{\mathrm{T}}\eta)^{-1}\eta^{\mathrm{T}}\gamma$

根据 $\Lambda$ 的奇异值分解 $\Lambda = USV^T $，最优旋转矩阵 $R$ 可以表示为：
$R=V\Sigma U^{\mathrm{T}}\eta^{\mathrm{T}}\gamma$

其中， $\Sigma$ 是通过取 $S$ 中每个非零元素的倒数得到的。

Process of geomagnetic triangle matching

总结来说，稀疏地磁环境中的匹配过程如下：

步骤1：通过BP神经网络对稀疏地磁地图进行建模，以扩展先验地图的网格点，然后进行地磁三角匹配。
步骤2：初始匹配需要三个点的地磁信息。通过使用地磁三角匹配方法，可以获得修正后的定位，例如 ${X_1, X_2, X_3\}$ 。
步骤3：当获取到新的INS位置时，只需搜索新的地磁信息，便可通过之前确定的两个位置 $X_2$ 和 $X_3$ 来获得匹配位置 $X_4$ 。
步骤4：重复步骤2，直到完成整个匹配导航过程。

Simulations and results

地磁参考图的总强度F
验证算法实验参数设置如下表

参数	说明
数据来源	北美磁异常图的数字数据网格
仿真区域	20 × 20 km²
地磁场强度	F
地图分辨率	200m × 200m
数据源	基于地磁参考场，受传感器误差和外部干扰影响
INS仿真条件	初始误差和测量误差
仿真目的	仅揭示匹配区域内的地磁过程，INS在进入匹配区域前存在较大偏差

参数	值	参数	值
初始速度误差	0.1 m/s	陀螺仪常数偏差	0.01 °/h
初始位置误差	10 m	陀螺仪随机游走	0.001 °/h
V0	200 m/s	加速度计常数偏差	100 μg
		加速度计随机游走	10 μg

Geomagnetic matching in different sparse environments

为了说明所提算法的性能，将综合分析匹配结果的可靠性和算法对噪声的抗干扰能力。以下仿真分为两种稀疏环境进行分析。一种是地磁点均匀分布的稀疏环境，网格间距为1公里；另一种是随机分布的稀疏环境，其地磁数据是从图6中的磁场模型中随机选择400个候选点。

引入稀疏地磁场BPNN模型到所提三角匹配算法中的仿真结果如图7和图8所示。图7为地磁点均匀分布情况下的地磁匹配仿真，图8为地磁点随机分布情况下的地磁匹配仿真。
地磁匹配与地磁点均匀分布。(a) 稀疏磁场。(b) BP 建模的磁场。
地磁与地磁点随机分布的匹配。(a) 稀疏磁场 (b) BP 建模磁场。
仿真结果表明，如果直接使用稀疏地磁地图进行匹配，无论地磁信息是均匀分布还是随机分布，由于稀疏磁场信息的限制，尤其是对于离散的地磁点，匹配效果都不理想。显然，当为地磁匹配建立训练好的BPNN模型时，所提的三角匹配方法相比传统的ICCP方法具有更好的定位精度。

为了验证所提算法的性能，本实验中模拟了约100个无测量噪声的样本。定位精度和匹配概率如表2所示。
在这里插入图片描述

匹配概率指的是在蒙特卡洛仿真中，平均定位误差小于匹配容差（一个地图网格）的百分比。实际上，每当ICCP匹配过程失败时，都可能产生较大的匹配误差。因此，只有当匹配过程成功时，才给出定位精度的统计量。

结果表明，当先验地磁数据分布稀疏时，由于实际地磁图与训练后的BPNN地图之间的误差，ICCP方法的匹配结果不理想。然而，三角匹配方法在稀疏地磁导航中的定位精度和匹配概率更优。这证明了三角匹配方法的有效性。

Simulation with different measurement noises

为了验证所提方法对测量噪声的抗干扰能力，进行了两次不同水平高斯噪声的仿真实验，如图9和图10所示。
在这里插入图片描述

结果表明，当INS指示轨迹包含航向角误差时，三角匹配方法在定位精度方面优于ICCP方法。此外，表3展示了在不同水平测量噪声下进行的100次蒙特卡洛仿真。
在这里插入图片描述

从100次蒙特卡洛仿真结果来看，显然当存在测量误差时，ICCP算法的定位精度显著降低。而我们的三角匹配方法仍然在定位精度和匹配概率方面表现良好，且实现了平均定位精度小于0.5个网格的效果。

Conclusion

本文提出了一种针对稀疏地磁场的地磁三角匹配方法。在通过BPNN建模以丰富匹配信息后，在地磁等高线上构建最优三角形进行地磁匹配，从而提高磁场信息稀疏区域的匹配效果。
仿真结果表明，三角匹配算法是可行且有效的。通过对不同水平的测量噪声进行实验，展示了该方法的抗干扰能力。此外，与传统的ICCP方法相比，所提方法通过匹配统计表现出良好的性能。
由于该方法能够使用较少的冗余信息来提高稀疏地磁场的匹配精度，同时也减少了准备地磁参考地图的难度。

References

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