矩阵乘法的理解

很多同学可能和我一样，在学习矩阵乘法的时候感到一头雾水，不知道它到底是在计算什么。如同一般整数乘法，如$2\times 3=6$，这个公式仅仅是一个计算法则，但是如果把它看成2的3倍或3的2倍，如此一来，乘法就变得好理解。那么，怎么理解矩阵的乘法呢？本文将从多个角度展开分析。

1. 向量$\times$向量

习惯上，向量写成列的形式，如$x=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$，$y=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]$，向量的内积可表示为$x^{T}y=11$。

广泛来说，两个向量的内积可表示为下
$$x^{T}y=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$$

2. 矩阵$\times$向量

假定有矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$和向量$x=[\begin{array}{c}{x}_1\end{array}$