矩阵乘法的简单理解

初识矩阵的乘法，就跟很多人一样，将定义机械地记忆下来：

  两个矩阵相乘，要求前一个矩阵的列数和后一个矩阵的行数相等. 乘积矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素等于前一个矩阵的第 $i$ 个行向量与后一个矩阵的第 $j$ 个列向量的内积(或点乘)，用数学符号来描述就是：

假设有两个矩阵$$A=(a_{ij}{)}_{m\times n},B=(b_{ij}{)}_{n\times s}$$则
$$C=AB=(c_{ij}{)}_{m\times s}$$$$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$$

但矩阵乘法究竟该如何理解？下面给出我的答案：

一、从定义的角度进行解释

最符合直觉的一种方式，即与定义最为接近的一种理解方式：
对 $A$ 进行行分块：
$$A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^T\\ {\alpha }_2^T\\ ⋮\\ {\alpha }_m^T\end{array}\right)$$对 $B$ 进行列分块：
$$B=\left(\begin{array}{c}{\beta }_1{\beta }_2\cdots {\beta }_s\end{array}\right)$$则
$$C=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^T\\ {\alpha }_2^T\\ ⋮\\ {\alpha }_m^T\end{array}\right)({\beta }_1{\beta }_2\cdots {\beta }_s)=\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1^T{\beta }_1& {\alpha }_1^T{\beta }_2& \cdots & {\alpha }_1^T{\beta }_s\\ {\alpha }_2^T{\beta }_1& {\alpha }_2^T{\beta }_2& & {\alpha }_2^T{\beta }_s\\ & & \cdots & \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ & & \ddots & \\ {\alpha }_m^T{\beta }_1& {\alpha }_m^T{\beta }_2& & {\alpha }_m^T{\beta }_s\\ & & \cdots & \end{array}\right)$$乘积矩阵 $C$ 中的每个元素都是对应行向量与列向量的点乘.

现在逆向思维，将思路反过来.
已知向量 $\alpha =(a_1{a}_2\cdots a_n{)}^T,\beta =(b_1{b}_2\cdots b_n{)}^T$，则两者的点积为 $$(\alpha ,\beta )=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$可以写作$$(\alpha ,\beta )=(a_1{a}_2\cdots a_n)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)={\alpha }^T\beta$$现在假设有一组向量 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$，按照这种排列构成一个矩阵 $B=({\beta }_1{\beta }_2\cdots {\beta }_s)$，则可以定义 ${\alpha }^T$ 与矩阵 $B$ 的乘法如下：$${\alpha }^{T}B={\alpha }^T({\beta }_1{\beta }_2\cdots {\beta }_s)=({\alpha }^T{\beta }_1{\alpha }^T{\beta }_2\cdots {\alpha }^T{\beta }_s)$$再假设有一组向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$，则其与 $B$ 的乘积定义如下：
令 $$A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^T\\ {\alpha }_2^T\\ ⋮\\ {\alpha }_m^T\end{array}\right)$$则 $$AB=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^T\\ {\alpha }_2^T\\ ⋮\\ {\alpha }_m^T\end{array}\right)({\beta }_1{\beta }_2\cdots {\beta }_s)=\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1^T{\beta }_1& {\alpha }_1^T{\beta }_2& \cdots & {\alpha }_1^T{\beta }_s\\ {\alpha }_2^T{\beta }_1& {\alpha }_2^T{\beta }_2& & {\alpha }_2^T{\beta }_s\\ & & \cdots & \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ & & \ddots & \\ {\alpha }_m^T{\beta }_1& {\alpha }_m^T{\beta }_2& & {\alpha }_m^T{\beta }_s\\ & & \cdots & \end{array}\right)$$

二、从行(列)向量组的角度进行解释

1. 行向量组

对 $B$ 进行行分块：$$B=\left(\begin{array}{c}{\beta }_1^T\\ {\beta }_2^T\\ ⋮\\ {\beta }_n^T\end{array}\right)$$$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$则
$$C=AB=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{\beta }_1^T+a_{12}{\beta }_2^T+\cdots +a_{1n}{\beta }_n^T\\ a_{21}{\beta }_1^T+a_{22}{\beta }_2^T+\cdots +a_{2n}{\beta }_n^T\\ \cdots \\ a_{m1}{\beta }_1^T+a_{m2}{\beta }_2^T+\cdots +a_{mn}{\beta }_n^T\end{array}\right)$$
即乘积矩阵 $C$ 的每个行向量都是矩阵 $B$ 行向量组的线性组合，第 $i$ 个行向量的组合系数是矩阵 $A$ 的第 $i$ 行，$i=1,2,\cdots ,m$.

所以，左乘一个矩阵就相当于对原矩阵进行了行变换.

2.列向量组

对 $A$ 进行列分块：$$A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n\end{array}\right)$$$$B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1s}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2s}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{ns}\end{array}\right)$$则
$$\begin{gathered} C=AB= \\ (b_{11}{\alpha }_1+b_{21}{\alpha }_2+\cdots +b_{n1}{\alpha }_n{b}_{12}{\alpha }_1+b_{22}{\alpha }_2+\cdots +b_{n2}{\alpha }_n\cdots b_{1s}{\alpha }_1+b_{2s}{\alpha }_2+\cdots +b_{ns}{\alpha }_n) \end{gathered}$$

即乘积矩阵 $C$ 的每个列向量都是矩阵 $A$ 列向量组的线性组合，第 $j$ 个列向量的组合系数是矩阵 $B$ 的第 $j$ 列，$j=1,2,\cdots ,s$.

右乘一个矩阵就相当于对原矩阵进行了列变换.

三、复合线性映射

  首先来说一下矩阵与线性映射的关系，用一句话来说就是，二者一一对应，即给定一个线性映射，可以唯一确定一个矩阵，反之亦然。下面进行解释。

  设 $V_1$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，${ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_n$ 为 $V_1$ 的一组基，$V_2$ 是数域 $P$ 上的 $m$ 维线性空间，${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_m$ 为 $V_2$ 的一组基，$\mathcal{A}$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的一个线性映射. 则 $\mathcal{A}({ϵ}_i)\in V_2$，可以由 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_m$ 线性表出，设$$\{\begin{array}{l}\mathcal{A}({ϵ}_1)=a_{11}{\eta }_1+a_{21}{\eta }_2+\cdots +a_{m1}{\eta }_m\\ \mathcal{A}({ϵ}_2)=a_{12}{\eta }_1+a_{22}{\eta }_2+\cdots +a_{m2}{\eta }_m\\ \cdots =\cdots \cdots \\ \mathcal{A}({ϵ}_n)=a_{1n}{\eta }_1+a_{2n}{\eta }_2+\cdots +a_{mn}{\eta }_m\end{array}$$表示为矩阵形式
$$\mathcal{A}({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_n)=({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_m)A$$其中$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$  因为 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_m$ 线性无关，所以组合系数唯一，可以由线性映射 $\mathcal{A}$ 唯一确定矩阵 $A$.

  另一方面，若已知矩阵 $A$，可以构造如上的线性映射. $\forall \alpha \in V_1$，$\alpha$ 可以由 ${ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_n$ 线性表出，设 $\alpha =k_1{ϵ}_1+k_2{ϵ}_2+\cdots +k_n{ϵ}_n$，根据映射的线性性$$\begin{array}{rl}\mathcal{A}(\alpha )& =\mathcal{A}(\alpha )\\ & =k_1\mathcal{A}({ϵ}_1)+k_2\mathcal{A}({ϵ}_2)+\cdots +k_n\mathcal{A}({ϵ}_n)\\ & =\mathcal{A}({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_n)\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right)\\ & =({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_m)Ak\end{array}$$其中 $Ak$ 为 $m$ 维列向量，即 $\mathcal{A}(\alpha )$ 在基 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_m$ 下的坐标. 故可以根据矩阵 $A$ 唯一确定线性映射 $\mathcal{A}$.

  所以，给定两组基的情况下，矩阵与线性映射一一对应.

下面从复合线性映射的角度来理解矩阵乘法：

  增设 $V_3$ 为数域 $P$ 上的 $s$ 维线性空间，${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s$ 为 $V_3$ 的一组基，$\mathcal{B}$ 为 $V_2$ 到 $V_3$ 的一个线性映射，表示成矩阵形式$$\mathcal{B}({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_m)=({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s)B$$考虑复合映射 $\mathcal{C}=\mathcal{B}\circ \mathcal{A}$，则 $\mathcal{C}$ 为 $V_1$ 到 $V_3$ 的线性映射，表示成矩阵形式
$$\mathcal{C}({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_n)=({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s)C$$另一方面$$\begin{array}{rl}\mathcal{C}({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_n)& =\mathcal{B}\circ \mathcal{A}({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_n)\\ & =\mathcal{B}({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_m)A\\ & =(\mathcal{B}({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_m))A\\ & =({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_s)BA\end{array}$$由唯一性$$C=BA$$

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