一文详解原码, 补码, 反码

一. 机器数和真值

在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

1、机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

2、真值

机器数的第一位是符号位,后边才是真正的数值,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例:

0000 0001的真值 = +000 0001 = +1

1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

原码反码补码的基础概念和计算方法.

在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

1. 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1](原码) = 0000 0001

[-1](原码) = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

[-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

2. 反码

反码的表示方法是: 正数的反码是其本身,负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各个位取反.

[+1] = [00000001](原码)= [00000001](反码)

[-1] = [10000001](原码)= [11111110](反码)

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

3. 补码

补码的表示方法是:正数的补码就是其本身,负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001](原码) = [00000001](反码) = [00000001](补码)

[-1] = [10000001](原码) = [11111110](反码) = [11111111](补码)

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

为何要使用原码反码和补码

在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001](原码) = [00000001](反码) = [00000001](补码)

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001](原码) = [11111110](反码) = [11111111](补码)

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

### 原码补码反码的概念及转换方法 #### 一、概念定义 原码是最简单的二进制表示形式,其中最高位作为符号位,其余部分为数值的绝对值对应的二进制数[^1]。 正数原码反码补码均相同,而负数则有所不同。 - **原码**:直接将十进制数转化为二进制数,最高位为符号位(0代表正数,1代表负数)。例如,`+5` 的原码为 `00000101`,`-5` 的原码为 `10000101`[^3]。 - **反码**:对于正数,其反码原码一致;对于负数,符号位保持不变,其他位按位取反(即将 `0` 变成 `1`,`1` 变成 `0`)[^2]。例如,`-5` 的原码为 `10000101`,因此它的反码为 `11111010`[^4]。 - **补码**:对于正数,其补码等于原码;对于负数,先求得反码再加 `1` 即可得到补码。例如,`-5` 的反码为 `11111010`,那么 `-5` 的补码为 `11111011`。 --- #### 二、转换规则 以下是具体的转换过程: ##### 正数的情况 对于任何正整数,其原码反码补码都是一致的,均为该数的二进制表示形式。例如: ```plaintext +7 -> 原码 = 00000111, 反码 = 00000111, 补码 = 00000111 ``` ##### 负数的情况 1. **由原码反码**:保留符号位不变,对其余各位取反。例如: ```plaintext -8 -> 原码 = 10001000 -> 反码 = 11110111 ``` 2. **由反码补码**:在反码的基础上加 `1`。例如: ```plaintext -8 -> 反码 = 11110111 -> 补码 = 11111000 ``` 3. **由补码还原为原码**:如果已知某数的补码,则可以通过减 `1` 后再次取反的方式恢复为其原码。例如: ```plaintext 补码 = 11111000 -> 减1后 = 11110111 -> 再次取反 = 10001000 (即-8的原码) ``` --- #### 三、存储方式 计算机内部通常采用补码来存储数据,因为这种表示方法可以简化硬件设计并统一处理加法和减法运算。例如,在内存中存储 `-5` 时,实际保存的是其补码形式 `11111011`。 --- #### 四、总结表 | 数字 | 符号位 | 原码 | 反码 | 补码 | |------|--------|------------|------------|------------| | +5 | 0 | 00000101 | 00000101 | 00000101 | | -5 | 1 | 10000101 | 11111010 | 11111011 | --- ### 示例代码 以下是一个 Python 实现,展示如何计算给定整数的原码反码补码: ```python def get_binary_representation(num, bits=8): if num >= 0: original_code = bin(num)[2:].zfill(bits) complement_code = original_code reverse_code = original_code else: original_code = '1' + bin(abs(num))[2:].zfill(bits - 1) reverse_code = ''.join(['1' if b == '0' else '0' for b in original_code[1:]]) complement_code = bin(int('0b' + reverse_code, 2) + 1)[2:].zfill(bits) return { "original": original_code, "reverse": reverse_code.zfill(bits), "complement": complement_code } result = get_binary_representation(-5) print(f"Original Code: {result['original']}") print(f"Reverse Code: {result['reverse']}") print(f"Complement Code: {result['complement']}") ``` 运行上述代码会输出如下结果: ```plaintext Original Code: 10000101 Reverse Code: 11111010 Complement Code: 11111011 ``` ---
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