代码随想录刷题day41｜ 整数拆分&不同的二叉搜索树

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day41学习内容

day41主要内容

• 整数拆分
• 不同的二叉搜索树

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本文思路和文字，引用自《代码随想录》

一、 整数拆分

343.原题链接

2.1、动态规划五部曲

1.1.1、 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

- 分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

1.1.2、确定递推公式

这题我其实一开始的思路是拆成多个数字，还是拆成2个数字。甚至考虑了奇数和偶数的区别，但是想了半天，都发现没有规律。。
递推公式为 dp[i]=max(dp[i],max(j×(i−j),j×dp[i−j]))

其中，i是当前我们想要拆分的整数，j是我们从i中拆出来的一个正整数，(i-j)就是剩下的部分。

递推公式推导

关键点在于理解，对于任意的i，我们尝试所有可能拆分的j（从1到i-1），然后比较：

1. 不再拆分(i-j)的情况： 直接计算j与(i-j)的乘积，即j * (i-j)。
2. 继续拆分(i-j)的情况： 这里我们不直接使用(i-j)，而是使用它继续拆分后能得到的最大乘积，即j * dp[i-j]。

例子说明

假设n=8，我们要计算dp[8]。

• 当j=1时，拆分成1和7，可以比较1*7与1*dp[7]。由于dp[7]代表7拆分得到的最大乘积，如果7继续拆分能得到的乘积比7大，那么使用dp[7]。
• 当j=2时，拆分成2和6，同理比较2*6与2*dp[6]。
• 当j=3时，拆分成3和5，比较3*5与3*dp[5]。

以此类推，直到j=4（因为拆分是对称的，所以当j超过i/2时，情况会重复）。

1.1.3、 dp数组如何初始化

dp[0]和dp[1]没有意义
dp[2] =1 ，因为dp[2]只能拆成1*1

1.1.4、确定遍历顺序

从前向后遍历，没啥好说的

1.1.5、计算并返回最终结果

return dp[n];

1.2、代码

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        //dp[n] 为正整数 n 拆分后的结果的最大乘积
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i-j; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j])); 
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

这种写法也OK，唯一的不同就是j <= i/2。

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        //dp[n] 为正整数 n 拆分后的结果的最大乘积
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i/2; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j])); 
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

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二、不同的二叉搜索树

96.原题链接

2.1、动态规划五部曲

2.1.1、 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

-  1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

2.1.2、确定递推公式

dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]

j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。

所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

2.1.3、 dp数组如何初始化

只需要初始化dp[0]
dp[0] = 1

2.1.4、确定遍历顺序

从前向后遍历，没啥好说的

2.1.5、计算并返回最终结果

return dp[n];

2.2、代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化0个节点和1个节点的情况
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) { 
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

总结

1.感想

• 动态规划还没入门就想放弃了。。。

2.思维导图

本文思路引用自代码随想录，感谢代码随想录作者。