【Computer Graphics】计算机图形学之基础变换矩阵

   变换矩阵 (Transformation Marices)在图形学中的重要性不用多说，一切物体的 缩放， 旋转， 位移，都可以通过变换矩阵作用得到。同时在 投影 (projection) 变换的时候也有很多应用，本文将会介绍一些简要的变换矩阵。

  我们将如下式所示的简单矩阵乘法定义为对向量$(x,y{)}^T$的线性变换。
$$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}x+a_{12}y\\ a_{21}x+a_{22}y\end{array}\right]$$

一、缩放变换(scaling)

  缩放变换是一种沿着坐标轴作用的变换，定义如下：
$$scale(s_x,s_y)=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]$$

  该矩阵对带有笛卡尔分量的向量进行了变化，将所有的点变为$(s_{x}x,s_{y}y{)}^T$。
$$\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{s}_{x}x\\ s_{y}y\end{array}\right].$$

示例1：均匀缩放

  上图为将 $x$ 和 $y$ 均匀缩小2倍的矩阵，轴对齐的缩放矩阵具有比例，每个对角线元素的变化，而非对角线元素的变化为零。

示例2：非均匀缩放

  此例将原图在水平方向上减半，在垂直方向上增加三倍。缩放矩阵是对角的，且为不相等元素。此时，时钟的方形轮廓变成了矩形，而圆形的面变成了矩形一个椭圆。

二、反射变换(Reflection)

  反射变换是一种基础的线性变换，我们可以通过上诉的缩放变换来反射任意坐标轴上的向量。
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