leetcode--5. 最长回文子串：动态规划——状态转移方程

解题思路
动态规划：填dp表、当前ij状态、过去ij状态、如何联合得到输出、边界条件
1.定义状态：题目让我们求什么，就把什么设置为状态。

2.题目求s中最长的回文子串，那就判断所有子串是否为回文子串，选出最长的。
因此：dp[i][j]表示s[i:j+1]是否为回文子串（这里+1是为了构造闭区间）
状态转移方程：对空间进行分类讨论（当前ij状态、过去ij状态 如何联合得到输出）
当前ij状态：头尾必须相等（s[i]==s[j]）
过去ij状态：去掉头尾之后还是一个回文(dp[i+1][j-1] is True)
边界条件：只要是找过去ij状态的时候，就会涉及边界条件（即超出边界情况处理）

当i==j时一定是回文
j-1-(i+1)<=0,即j-i<=2时，只要当s[i]==s[j]时就是回文，不用判断dp[i+1][j-1]
dp[i][j] 为截取的子串

3.初始状态：这里已经直接判断j-i<=2的情况了，因此用不到初始状态，可以不设

4.输出内容：每次发现新回文都比较一下长度，记录i与长度

5.优化空间提速

例子

代码

class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        
        size = len(s)
        # 特殊处理
        if size == 1:
            return s
        # 创建动态规划dynamic programing表
        dp = [[False for _ in range(size)] for _ in range(size)]
        # 初始长度为1，这样万一不存在回文，就返回第一个值（初始条件设置的时候一定要考虑输出）
        max_len = 1
        start = 0
        for j in range(1,size):
            for i in range(j):
                # 边界条件：
                # 只要头尾相等（s[i]==s[j]）就能返回True
                if j-i<=2:
                    if s[i]==s[j]:
                        dp[i][j] = True
                        cur_len = j-i+1
                # 状态转移方程 
                # 当前dp[i][j]状态：头尾相等（s[i]==s[j]）
                # 过去dp[i][j]状态：去掉头尾之后还是一个回文（dp[i+1][j-1] is True）
                else:
                    if s[i]==s[j] and dp[i+1][j-1]:
                        dp[i][j] = True
                        cur_len = j-i+1
                # 出现回文更新输出
                if dp[i][j]:
                    if cur_len > max_len:
                        max_len = cur_len
                        start = i

        return s[start:start+max_len]

作者：_Breiman
链接：https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-substring/solution/5-zui-chang-hui-wen-zi-chuan-dong-tai-gu-p7uk/
来源：力扣（LeetCode）
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def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        n = len(s)

        # 特解
        if n < 2:
            return s

        '''
        创建动归表dp (n x n的全为False的矩阵) 用来表示字符串s的每一个子串是否为回文
        s子串个数 = n + n - 1 + ... + 1, e.g. 字符串babad有5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15种子串
        start用来跟踪最长回文子串的起点, max_len代表最长回文子串的长度
        '''
        dp = [[False] * n for _ in range(n)]
        start, max_len = 0, 1

        '''
        如果字符串是babad
        下面的双循环则进行以下遍历 (遍历所有可能的15个子字符串):
        b
        ba,    a
        bab,   ab,   b,
        baba,  aba,  ba,  a
        babad, abad, bad, ad, d

        dp[left][right]代表s被left和right指针相夹而得的子字符串
        e.g. left = 0, right = 3, dp[left][right] = baba
        '''
        for right in range(n):
            for left in range(0, right + 1):
                '''
                (0) 求子串跨越长度span
                (1) 边缘情况1: 子串长度为1, 则一定是回文
                (2) 边缘情况2: 子串长度为2, 如果俩字符相同则是回文
                (3) 非边缘情况则进行动态规划之状态转移: 如果b是回文, aba也一定是回文
                    即判断是否为回文需同时满足两条件: 
                        1. 剥离左右最外层字符后的子字符串是回文 
                        2. 最外层的字符相同
                '''
                span = right - left + 1
                if span == 1:
                    dp[left][right] = True
                elif span == 2:
                    dp[left][right] = s[left] == s[right]
                else:
                    dp[left][right] = dp[left + 1][right-1] and s[left] == s[right]

                # 若新的回文出现, 判断是否需要更新最大长度
                if dp[left][right]:
                    if span > max_len:
                        max_len = span
                        start = left
        # 返回最长回文子串
        return s[start:start + max_len]

作者：eason734
链接：https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-substring/solution/zui-tong-su-wu-fei-hua-de-pythondong-tai-nysh/
来源：力扣（LeetCode）
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