关于对leetcode.121的数学分析及其解法（代码为c语言）

关于问题121的数学分析

目录

• 原题
• 题目转化
• 猜想一
• 猜想二
• 猜想三
• 代码

原题

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

题目转化

设prices长度为n, f(x) = prices[x], x属[0,n-1], p(a1,a2) = f(a2) - f(a1)
则题目转变为求取二元函数p在a1<a2时的最大值。

猜想一

易知函数p关于y = x对称
证明：

p(a1,a2)+p(a2,a1) = f(a2)-f(a1)+f(a1)-f(a2) = 0

猜想二

将函数p视作一二维矩阵，maxProfit为y = x右侧的最大值。
易知对p的任何子式而言，其最大值都为在该范围内所能取得的f(a2)的最大值与f(a1)的最小值之差。
证明：

设p的子式为P，即任取行集合A与列集合B构成子矩阵
其最大值为max(P(a,b) = max(f(b))-min(f(a)), a,b分别属于A,B

猜想三

设P为其大小为(x-1)*2的子式(0<x<n)
易知P所有可能中的全局最大值为maxProfit
证明：

因为在P的所有可能子式中，包含了p在满足a1<a2时的所有元素，所以maxProfit必然为某一可能子式的最大值

代码

int maxProfit(int* prices, int pricesSize) {
    int* f = prices;
    int ma_p = 0;
    int ma = 0;
    int mi = 0;
    for(int i = 1; i<pricesSize; i++){
        if(f[i]>f[i-1]) ma = i;
        else ma = i-1;
        if(f[i-1]<f[mi]) mi = i-1;
        if(f[ma]-f[mi]>ma_p) ma_p = f[ma]-f[mi];
    }
    return ma_p;
}