蓝桥杯 2016 8 四平方和

最新推荐文章于 2024-12-17 23:24:15 发布

yaoyuan-yy

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/YYecust/article/details/55049464

本文深入探讨了四平方和定理，即拉格朗日定理的应用算法。介绍了如何将任意正整数表示为四个整数的平方和，并通过优化算法在sqrt(N)^2时间内找出所有可能的表示法，最终输出最小的四个非负整数组合。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

四平方和
四平方和定理，又称为拉格朗日定理：
每个正整数都可以表示为至多4个正整数的平方和。
如果把0包括进去，就正好可以表示为4个数的平方和。
比如：
5 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2
7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2
（^符号表示乘方的意思）
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。
要求你对4个数排序：
0 <= a <= b <= c <= d
并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法
程序输入为一个正整数N (N<5000000)
要求输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开
例如，输入：
5
则程序应该输出：
0 0 1 2
再例如，输入：
12
则程序应该输出：
0 2 2 2
再例如，输入：
773535
则程序应该输出：
1 1 267 838
资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms

这题比较坑,关键是不能着急退出,要搜索全部情况,但加点优化时间也不是很长.
首先我们在sqrt(N)的时间生成一个数组a,里面存平方数
然后再 sqrt(N)^2时间内生成一个数组b,里面存平方数 * 平方数
关键是利用一个长度为N的数组C
C是一个结构体数组
.b表示这个C[i]是否是平方数 * 平方数,也就是形如x^2 +y^2的形式
同时 .x .y记录x和y
一切准备就绪之后
就枚举b数组
然后根据c数组直接得到是否满足
注意不要找到第一组就退出循环,而是要把每种情况都找出来再比较
实际上也只是需要sqrt(N)^2的时间
这里用一个pair<pair<int, int>, pair<int, int> >类型来方便比较

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = INT_MAX;
struct V
{
    bool b;
    int x, y;
    V()
    {
        b = false;
        x = 0;
        y = 0;
    }
    V(bool b, int x, int y) : b(b), x(x), y(y) {}
};
auto makePair(int a, int b, int c, int d)
{
	return make_pair(make_pair(a, b), make_pair(c, d));
}
int main()
{

    int n;
    scanf("%d", &n);
    vector<int> a;
    for (int i = 0; i * i <= n; i++) a.push_back(i * i);
    vector<int> b;
    vector<V> c;
    c.resize(n + 1);
    for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
        for (int j = i; j < a.size(); j++) {
            if (a[i] + a[j] > n) continue;
            if (c[a[i] + a[j]].b) {
		if (sqrt(a[i]) < c[a[i] + a[j]].x) c[a[i] + a[j]] = V(true, sqrt(a[i]), sqrt(a[j]));
            } else {
            	b.push_back(a[i] + a[j]);
            	c[a[i] + a[j]] = V(true, sqrt(a[i]), sqrt(a[j]));
            }
        }
    }
    auto ans = makePair(INF, INF, INF, INF);
    for (int e : b) {
        if (n - e >= 0 && c[n - e].b) {
		//printf("%d %d %d %d\n", c[e].x, c[e].y, c[n-e].x, c[n-e].y);
            ans = min(ans, makePair(c[e].x, c[e].y, c[n-e].x, c[n-e].y));
        }
    }
    cout << ans.first.first << ' ' << ans.first.second << ' ' << ans.second.first << ' ' << ans.second.second << endl;
}