图论——连通性

最新推荐文章于 2025-03-19 16:54:06 发布

Albert.Jw

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分类专栏：搜索图论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Albert_Jw/article/details/107727292

本文详细介绍了图论中的连通性概念，包括割点、点双连通图、点双联通分量、桥、边双连通图、边双联通分量以及强联通图。阐述了判断割点、桥、边双联通分量和强联通分量的方法，并提供了相关算法和代码实现。同时，讨论了有向图中的强联通分量和缩点操作。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

割点：
1.无向图
2.删去这个点及其所连边后，图不再联通
在这里插入图片描述
点双连通图：
1.无向图
2.没有割点（删去任意一个点图仍联通）

点双联通分量：
无向图G中所有子图G’
如果G’
1.是点双联通子图
2.不是其他点双联通子图的真子集，
则G’是G的极大点双联通子图，也称点双联通分量。

桥（割边）：
1.无向图
2.删此边（不删其连着的点），剩下的图不再联通

在这里插入图片描述

边双连通图：
1.无向图
2.删任意一边，剩下的图仍联通
在这里插入图片描述
边双联通分量：
无向图G中所有子图G’
如果G’
1.是边双联通子图
2.不是其他边双联通子图的真子集，
则G’是G的极大点双联通子图，也称点双联通分量。
注意：
1.一个图可能是边双联通图，却不是点双连通图
2.一个点只可能属于一个边双联通分量，否则这几个边双联通分量还可以合起来成一个更大的边双联通分量
在这里插入图片描述
强联通图：
1.有向图
2.任意两点可以相互到达
所以必存在环
同理强联通分量

时间戳：
树上搜索时记录到达每个点的时间（第几次搜索找到的——打完标记就自加）

树边：
一个一个搜索的边（实线）

反向边（返祖边）：
某点除了本来的一个一个搜索顺序外，能回到上面的点的边（虚线）
在这里插入图片描述

求割点及点双联通分量：
若u是割点，则u后面的所有数的反向边，都无法回到u的祖先

找到割点，就把后面的数全部割掉，存入
树根是割点，所以要去除这种情况
为了方便，求点双时存的是边
一个点可能在多个点双联通分量里，为防止重复加边
low[u]表示u及其后代最多经过一条反向边能回到的最早的时间戳‘如果
如果dfn(u)<=low(v)，u就是割点（数越小，（时间戳）节点越前）
更新low(u):
树边：low(u)=min(low(u),low(v));
反向边：low(u)=min(low(u),dfn(v));

代码：

#include <iostream>
#include <stack>
#include <set>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxm = 1010;  // 最大边数
const int maxn = 110;  // 最大点数
struct edge {
    int u, v;//搜索，从一个点到另一点