子图同构之Ullmann

子图同构之Ullmann

1.子图同构问题描述

​ 首先描述一下子图同构是什么意思，一个图由一系列节点和一系列连接节点的边构成，节点和边都可以有标签，也就是可以给他们按属性分类。

​ 精确点：一个图$G=(V,E)$由集合$V$和集合$E$组成，$V$是节点(node)集合， $E$是边(edge)集合，且$E\subset V\times V$ ，用$L_v$表示节点上的标签集合，$L_e$表示边上的标签集合，那么每个节点对应的标签由函数（或者说映射）${\lambda }_v:V\to L_v$ 确定，每条边对应的标签由函数${\lambda }_e:E\to L_e$ 确定。

​ 现在给定两个图$G_1=(V_1,E_1)$, $G_2=(V_2,E_2)$ ,其中$G_1$是比较小的图(我们把它叫做pattern graph)，$G_2$是比较大的图(我们把它叫做target graph),用集合$M\subset V_1\times V_2$ 表示两个图中节点的对应关系。如果节点$u\in V_1$,则$\mu (u)\in V_2$表示与节点$u$对应的$G_2$中的节点；如果节点$v\in V_2$,则$\nu (v)\in V_1$表示与节点$v$对应的$G_1$中的节点。

	$G_1$	$G_2$
对应关系	$u$	$\mu (u)$
对应关系	${\mu }^{-1}(v)$	$v$

​ 如果以下6个条件成立，则这两个图是子图同构的。

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1. $$\forall u\in V_1\exists \mu (u)\in V_2:(u,\mu (u))\in M$$
2. $$\forall u,u^{{}^{\prime }}\in V_{1}u\ne u^{{}^{\prime }}\Rightarrow \mu (u)\ne \mu (u^{{}^{\prime }})$$
3. $$\forall (u,u^{{}^{\prime }})\in E_1\exists (\mu (u),\mu (u^{{}^{\prime }}))\in E_2)$$
4. $$\forall u,u^{{}^{\prime }}\in V_1(\mu (u),\mu (u^{{}^{\prime }}))\in E_2\Rightarrow (u,u^{{}^{\prime }})\in E_1$$
5. $$\forall u\in V_1{\lambda }_{V_1}(u)={\lambda }_{V_2}(\mu (u))$$
6. $$\forall (u,u^{{}^{\prime }})\in E_1{\lambda }_{e_1}(u,u^{{}^{\prime }})={\lambda }_{e_2}(\mu (u),\mu (u^{{}^{\prime }}))$$

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用人话来解释一下：

1. 对于小图中每个节点，大图中都要有一个对应的节点与之对应，并且这样一对一对的节点构成了集合$M$；

2. 小图中任意两个不一样的节点，他们对应的大图中的节点不能是同一个；

3. 小图中每条边，大图中都有一条边与之对应，并且他们两端的节点一一对应；

4. 小图中任意两个节点，如果他们对应的大图中的节点之间有一条边，那么小图中这两个节点之间也得有条边;

5. 每对对应节点的label要相同，也就是这俩节点类型或属性相同；

6. 每对对应边的label要相同，也就是说这俩边的类型或属性相同。

​ 综上所述，子图同构简单来说就是，大图中有一个子结构，长得跟小图一模一样，而且这个子结构的节点之间不能多出小图中不存在的边来，如果要去掉最后这个而且，就把上面第4个条件去掉~

2 ullmann算法子图同构判定方法

​ 首先，图$G_1=(V_1,E_1)$的邻接矩阵为$A=[a_{ij}]$，图$G_2=(V_2,E_2)$的邻接矩阵为$B=[b_{ij}]$，其中邻接矩阵构建规则如下：

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xij={ 1      存在节点i→节点j的边0  不存在节点i→节点j的边 x_{ij}=\left\{ \begin{aligned} 1 \ \ \ \ \ \ 存在节点i\rightarrow 节点j的边 \\ 0 \ \ 不存在节点i\rightarrow 节点j的边 \end{aligned} \right. xij​={ 1      存在节点i→节点j的边0<