复杂网络搜索特定结构的环

复杂网络环搜索算法

最新推荐文章于 2025-12-01 15:03:58 发布

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#算法 #矩阵 #图论 #c++

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有向异构网络搜索特定结构的环or路径

1 问题描述

有向异构网络，即网络中的边是有方向的，且节点分为不同类型，拥有不同属性。要从一个复杂网络中搜索出所有满足某个特定结构的环，特定结构的环即环中每个节点的类型确定。

设有图 $G=(V,E,L_v)$ ， $V$ 是节点(node)集合， $E$ 是边(edge)集合，且 $E⊂V×VE\subset V\times V$ ，用 $L_v$ 表示节点上的标签集合，且 $L_v=\{l_1,l_2,...,l_q\}$ ，需求是要找出所有某种结构的环，比如 $Vl1→Vl2→Vl3→Vl1V_{l_1}\rightarrow V_{l_2}\rightarrow V_{l_3}\rightarrow V_{l_1}$ 这种形式的环。

在这里插入图片描述

比如上图中，要找出所有的 $Vl1→Vl2→Vl3→Vl1V_{l_1}\rightarrow V_{l_2}\rightarrow V_{l_3}\rightarrow V_{l_1}$ 形式的环，共有两个，分别如下：

在这里插入图片描述

2 邻接矩阵与路径数

下面以4种节点类型的一个图为例介绍算法，节点的标签分别为 $A, B, C, D$ ，要找出所有 $A→B→C→AA\rightarrow B\rightarrow C \rightarrow A$ 类型的环，图如下所示。

在这里插入图片描述

图中共有4个 $A→B→C→AA\rightarrow B\rightarrow C \rightarrow A$ 类型的环，分别为:

$A1→B1→C1→A1A1\rightarrow B1\rightarrow C1 \rightarrow A1$
$A2→B1→C2→A2A2\rightarrow B1\rightarrow C2 \rightarrow A2$
$A2→B2→C2→A2A2\rightarrow B2\rightarrow C2 \rightarrow A2$
$A2→B2→C3→A2A2\rightarrow B2\rightarrow C3 \rightarrow A2$

在这里插入图片描述

首先建立邻接矩阵，邻接矩阵构建规则如下：

$a_{ij}=\left\{ \begin{aligned} 1 \ \ \ \ 存在V_i\rightarrow V_j边 \\ 0 \ 不存在V_i\rightarrow V_j边 \end{aligned} \right.$

按 $A BC D$ 的类型顺序，上述图的邻接矩阵如下：

$M=\begin{gathered} \begin{bmatrix} 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 1\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\\ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 1\ \ \ \ 1\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\\ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 1\ \ \ \ 1\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\\ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 1\ \ \ \ 1\ \ \ \ 0\\ 1\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\\ 0\ \ \ \ 1\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 1\\ 0\ \ \ \ 1\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\\ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 1\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0\ \ \ \ 0 \end{bmatrix} & & & \Rightarrow & & & \begin{array}{c||cc|cc|ccc|c} M & A1 & A2 & B1 & B2 & C1 & C2 & C3 & D1 \\ \hline A1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ A2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline B1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ B2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ \hline C1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ C2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ C3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline D1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \end{gathered}$

将矩阵按节点类型分块，可以分为16个子矩阵，由于我们要找的是 $A→B→C→AA\rightarrow B\rightarrow C \rightarrow A$ 类型的环，仅与 $A→BA\rightarrow B$ ， $B→CB\rightarrow C$ ， $C→AC\rightarrow A$ 3个类型的边有关，因此我们仅关注这3种边构成的邻接矩阵，分别为：

$M_{AB}= \begin{array}{c|cc} M_{AB} & B_1 & B_2 \\ \hline A_1 & 1 & 0 \\ A_2 & 1 & 1 \end{array} \ \ \ \ \ \ \ \ M_{BC}= \begin{array}{c|ccc} M_{BC} & C_1 & C_2 & C_3 \\ \hline B_1 & 1 & 1 & 0 \\ B_2 & 0 & 1 & 1 \end{array} \ \ \ \ \ \ \ \ M_{CA}= \begin{array}{c|cc} M_{CA} & A_1 & A_2 \\ \hline C_1 & 1 & 0 \\ C_2 & 0 & 1 \\ C_3 & 0 & 1 \end{array}$

将 $M_{AB}$ 与 $M_{BC}$ 相乘，得到 $M_{ABC}$ ：

$M_{ABC}=M_{AB}\times M_{BC}= \begin{array}{c|cc} M_{AB}& B_1 & B_2 \\ \hline A_1 & 1 & 0 \\ A_2 & 1 & 1 \end{array} \times \begin{array}{c|ccc} M_{BC} & C_1 & C_2 & C_3 \\ \hline B_1 & 1 & 1 & 0 \\ B_2 & 0 & 1 & 1 \end{array} = \begin{array}{c|ccc} M_{ABC} & C_1 & C_2 & C_3 \\ \hline A_1 & 1 & 1 & 0 \\ A_2 & 1 & 2 & 1 \end{array}$

该矩阵表达了每个 $A$ 类节点到每个 $C$ 类节点的路径数，矩阵每个数字表示路径数量，比如第二行第二列的数字2，表示节点 $A_2$ 到节点 $C_2$ 并且经过 $B$ 类节点的路径有2条。

解释一下：这个数字2由矩阵 $M_{AB}$ 的第2行与矩阵 $M_{BC}$ 的第2列相乘得到，

其中 $M_{AB}[A_2][B_1]=1$ 表示节点 $A_2$ 到节点 $B_1$ 有一条路径， $M_{BC}[B_1][C_2]=1$ 表示节点 $B_1$ 到节点 $C_2$ 有一条路径，因此 $A_2$ 经过 $B_1$ 到达 $C_2$ 有一条路径；

$M_{AB}[A_2][B_2]=1$ 表示节点 $A_2$ 到节点 $B_2$ 有一条路径， $M_{BC}[B_2][C_2]=1$ 表示节点 $B_2$ 到节点 $C_2$ 有一条路径，因此 $A_2$ 经过 $B_2$ 到达 $C_2$ 有一条路径；

所以 $1×1+1×1=21\times 1 + 1\times 1 = 2$ 分别表示了上述2条路径。

接下来将 $M_{ABC}$ 与 $M_{CA}$ 相乘，得到 $M_{ABCA}$ ：

$M_{ABCA}=M_{ABC}\times M_{CA}= \begin{array}{c|ccc} M_{ABC} & C_1 & C_2 & C_3 \\ \hline A_1 & 1 & 1 & 0 \\ A_2 & 1 & 2 & 1 \end{array} \times \begin{array}{c|cc} M_{CA} & A_1 & A_2 \\ \hline C_1 & 1 & 0 \\ C_2 & 0 & 1 \\ C_3 & 0 & 1 \end{array} = \begin{array}{c|cc} M_{ABCA} & A_1 & A_2 \\ \hline A_1 & 1 & 1 \\ A_2 & 1 & 3 \end{array}$

该矩阵表达了每个 $A$ 类节点到每个 $A$ 类节点的路径数，以第2行第2列的数字3为例，其表示节点 $A_2$ 先经过 $B$ 类节点再经过 $C$ 类节点最终到达节点 $A_2$ 路径有3条。

这个数字3由矩阵 $M_{ABC}$ 的第2行与矩阵 $M_{CA}$ 的第2列相乘得到，

其中 $M_{ABC}[A_2][C_1]=1$ 表示节点 $A_2$ 经过 $B$ 类节点再到节点 $C_1$ 有1条路径， $M_{CA}[C_1][A_2]=0$ 表示节点 $C_1$ 到节点 $A_2$ 没有直接路径，因此 $A_2$ 经过 $B$ 类节点和 $C_1$ 节点到达 $A_2$ 没有路径；

$M_{ABC}[A_2][C_2]=2$ 表示节点 $A_2$ 经过 $B$ 类节点再到节点 $C_2$ 有2条路径， $M_{CA}[C_2][A_2]=1$ 表示节点 $C_2$ 到节点 $A_2$ 有1条路径，因此 $A_2$ 经过 $B$ 类节点和 $C_2$ 节点到达 $A_2$ 有 $2×1=22\times 1=2$ 条路径；

$M_{ABC}[A_2][C_3]=1$ 表示节点 $A_2$ 经过 $B$ 类节点再到节点 $C_3$ 有1条路径， $M_{CA}[C_3][A_2]=1$ 表示节点 $C_3$ 到节点 $A_2$ 有1条路径，因此 $A_2$ 经过 $B$ 类节点和 $C_3$ 节点到达 $A_2$ 有 $1×1=11\times 1=1$ 条路径；

所以 $A_2$ 先经过 $B$ 类节点再经过 $C$ 类节点最终回到 $A_2$ 的路径共有： $1×0+2×1+1×1=31\times 0 + 2\times 1 +1\times 1= 3$ 条。

3 找出所有具体的环

由第二节可以得到任意两个节点间，通过任意类型的节点的路径数，若关注环则只需要关注最终矩阵中的对角线元素，也就是自己回到自己的路径数。

现在需要把每一个这种类型的环由哪些节点构成找出来，其实由上面矩阵相乘的内部分析已经可以看出每一个环了，但是如果网络节点非常多，像上面那样顺着相乘并且乘到哪都把相应的路径记录下来，可能在相乘了几个矩阵时，对应的路径会非常多，而实际上最终需要找的路径或环没有那么多，这会大量消耗计算空间和时间。

举个极端例子，一个网络有4000个节点，其中 $A, B, C, D$ 类型的节点各1000个，其中 $A→B,B→C,C→DA\rightarrow B,B\rightarrow C,C\rightarrow D$ 均全连接，那么这三种类型的边各有1000000个， $A→B→C→DA\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D$ 这种类型的路径将有 $10^{18}$ 条，然而， $D→AD\rightarrow A$ 的边一条都没有，因此 $A→B→C→D→AA\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow A$ 类型的环一个都没有，于是前面计算并存储的那么多路径都没有用，在最后一步都被约束掉了。那么如果先从边数最少的那个类型开始算呢？事实上路径的中期还是会有很多可能，但路径长了以后就逐渐被约束掉了。这种方法其实相当于暴力搜索。

因此我们从矩阵相乘得到的最终结果出发，逐个往前推，逐层将节点寻找出来，下面具体展开第2节的例子~

$\begin{array}{c|cc} M_{ABCA} & A_1 & A_2 \\ \hline A_1 & 1 & 1 \\ A_2 & 1 & 3 \end{array}$

由 $M_{ABCA}$ 的对角线可知，共有4个 $A→B→C→AA\rightarrow B\rightarrow C \rightarrow A$ 类型的环，因此首先建立4条链表，用来存储这4个环，而且还可以知道，其中1条是 $A_1$ 到 $A_1$ 的，3条是 $A_2$ 到 $A_2$ 的，因此每条链表中最后一个节点分别是 $A_1$ ， $A_2$ ， $A_2$ ， $A_2$ 。并且先建立一个队列，放入对角线两个元素的位置 $A_1][A_1],[A_2][A_2]$ ，后面需要用到~

在这里插入图片描述

接下来往前推，为了找到连在 $A$ 类节点前面的 $C$ 类节点，需要用到 $M_{ABC},M_{CA}$ 矩阵。

$M_{ABCA}[A_1][A_1]=1$ 是由 $MABC[A1][C1]×MCA[C1][A1]+MABC[A1][C2]×MCA[C2][A1]+MABC[A1][C3]×MCA[C3][A1]M_{ABC}[A_1][C_1]\times M_{CA}[C_1][A_1]+M_{ABC}[A_1][C_2]\times M_{CA}[C_2][A_1]+M_{ABC}[A_1][C_3]\times M_{CA}[C_3][A_1]$ 得到的，其中后面两项都为0，有效的只有第一项 $MABC[A1][C1]×MCA[C1][A1]M_{ABC}[A_1][C_1]\times M_{CA}[C_1][A_1]$ ，也就是表示 $A1→B→C→A1A_1\rightarrow B\rightarrow C \rightarrow A_1$ 由一条 $A1→B→C1A_1\rightarrow B\rightarrow C_1$ 路径和一条 $C1→A1C_1\rightarrow A_1$ 路径组合而成，因此图中第一个 $A_1$ 节点前面应该连 $C_1$ 节点。

$M_{ABCA}[A_2][A_2]=3$ 是由 $MABC[A2][C1]×MCA[C1][A2]+MABC[A2][C2]×MCA[C2][A2]+MABC[A2][C3]×MCA[C3][A2]M_{ABC}[A_2][C_1]\times M_{CA}[C_1][A_2]+M_{ABC}[A_2][C_2]\times M_{CA}[C_2][A_2]+M_{ABC}[A_2][C_3]\times M_{CA}[C_3][A_2]$ 得到的。其中第一项为0；第二项 $MABC[A2][C2]×MCA[C2][A2]=2×1=2M_{ABC}[A_2][C_2]\times M_{CA}[C_2][A_2]=2\times 1=2$ 表示有2条 $A2→B→C2A_2\rightarrow B\rightarrow C_2$ 路径和1条 $C2→A2C_2\rightarrow A_2$ 路径组合成2条 $A2→B→C→A2A_2\rightarrow B\rightarrow C \rightarrow A_2$ 路径；第三项 $MABC[A2][C3]×MCA[C3][A2]=1×1=1M_{ABC}[A_2][C_3]\times M_{CA}[C_3][A_2]=1\times 1=1$ 表示有1条 $A2→B→C3A_2\rightarrow B\rightarrow C_3$ 路径和1条 $C3→A2C_3\rightarrow A_2$ 路径组合成1条 $A2→B→C→A2A_2\rightarrow B\rightarrow C \rightarrow A_2$ 路径。因此图中后面三个 $A_3$ 节点前面应该分别连 $C_2,C_2,C_3$ 节点。

在这里插入图片描述

这里可以看到， $M_{CA}$ 矩阵中有用的是每一列中数字为1的行数，可以提前用一个map来存储，避免循环搜索，在矩阵比较稀疏的时候会大量节省时间。另外，这一步中 $M_{ABCA}$ 矩阵中 $A_1][A_1],[A_2][A_2]$ 这两个位置已经用完了，将其移出队列，而新的有效的位置为 $M_{ABC}$ 矩阵中的 $A_1][C_1],[A_2][C_2],[A_2][C_3]$ ，因为我们用到了其对应的1，2，1三个数字，下一步再往前推时要考虑这三个数字的由来。

接下来继续往前推，为了找到连在 $C$ 类节点前面的 $B$ 类节点，需要用到 $M_{AB},M_{BC}$ 矩阵。

由上一步可知，这里有效的路径数是 $M_{ABC}[A_1][C_1],M_{ABC}[A_2][C_2],M_{ABC}[A_2][C_3]$ ，将这三个数字用完全相同的方法可得前面连接的 $B$ 类节点应分别为 ${B_1\},\{B_1,B_2\},\{B_2\}$ 。

在这里插入图片描述

到这一步实际上已经把4条环都找出来了，将首尾相连即可，结果与前面列出的相同~

在这里插入图片描述

4 总结

这个算法实际上是搜索出所有特定结构的路径，环是一种特殊的路径，因此也可以找出来。在给定一个网络时，先按节点类型排列并构建邻接矩阵，可以搜索出任意一个长度和结构的路径。

假设一个网络有 $q$ 类节点，网络节点总数为 $N$ ，且每类节点数量相同，要搜索长度为 $l$ 的路径，需要矩阵相乘 $(l - 1)$ 次，因此时间复杂度为 $O((l−1)(Nq)3)O((l-1)(\frac{N}{q})^3)$ ，这是在完全不考虑矩阵相乘的优化的情况下。假如最终找到了 $M$ 条路径，在往回推逐个找到具体节点的过程中，时间复杂度为 $O (lM)$ 。如果各类节点数量不太平均的话，矩阵相乘的复杂度就要具体情况具体分析了，当然也很容易~