Jzptab [Bzoj 2693]

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Jzptab

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Description

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Input

一个正整数 $T$ 表示数据组数
接下来 $T$ 行 每行两个正整数 表示 $N$ 、$M$。

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Output

$T$ 行，每行一个整数，表示第 $i$ 组数据的结果。

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Sample Input

1
4 5

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Sample Output

122

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Hint

$T <= 10000$
$N, M<=10000000$

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Solution

令 $n\leq m$，

$$\begin{align*} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}\\ &=\sum_{d=1}^n\frac{1}{d}·\sum_{gcd(i,j)=d,1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}ij\\ \end{align*}$$

令

$$f(d)=\sum_{gcd(i,j)=d,1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}ij$$
$$F(d)=\sum_{d|gcd(i,j),1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}ij$$

则

$$\begin{align*} F(d)&=(d+2d+3d+…+\lfloor\frac{n}{d}\rfloor d)(d+2d+3d+…+\lfloor\frac{m}{d}\rfloor d)\\ &=\frac{d^2(1+\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)(1+\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}{4} \end{align*}$$

根据莫比乌斯反演，

$$f(d)=\sum^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}_{i=1}\mu(i)·\frac{(id)^2(1+\lfloor\frac{n}{id}\rfloor)(1+\lfloor\frac{m}{id}\rfloor)\lfloor\frac{n}{id}\rfloor\lfloor\frac{m}{id}\rfloor}{4}$$
$$\begin{align*} \therefore ans&=\sum^n_{d=1}d\sum^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}_{i=1}\mu(i)·\frac{i^2(1+\lfloor\frac{n}{id}\rfloor)(1+\lfloor\frac{m}{id}\rfloor)\lfloor\frac{n}{id}\rfloor\lfloor\frac{m}{id}\rfloor}{4}\\ &=\sum^n_{t=1}\frac{t·(1+\lfloor\frac{n}{t}\rfloor)(1+\lfloor\frac{m}{t}\rfloor)\lfloor\frac{n}{t}\rfloor\lfloor\frac{m}{t}\rfloor}{4}\sum_{i|t}\mu(i)·i \end{align*}$$

令 $g(d)=\sum_{i|t}\mu(i)·i$，则 $g(d)$ 为积性函数。

设 $d$ 的唯一分解式为 $p_1^{q_1}×p_2^{q_2}×p_3^{q_3}×…×p_s^{q_s}$，

$$\begin{align*} \therefore g(d)&=\sum_{i|t}\mu(i)·i\\ &=\prod^s_{i=1}g(p_i^{q_i})\\ &=\prod_{i=1}^s(1-p_i) \end{align*}$$

然后用线性筛就可以 $O(n)$ 求出其值。
再求出 $i·g(i)$ 的前缀和，分块即可 $O(\sqrt n)$ 解决此题。