考试 —— NOI2016 山东省队选拔第一轮 Day 1

NOI2016 山东省队选拔第一轮 Day 1

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被虐得好爽。

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T1 储能表

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【问题描述】

有一个 $n$ 行m 列的表格，行从 $0$ 到 $n-1$ 编号，列从 $0$ 到 $m-1$ 编号。
每个格子都储存着能量。最初，第 $i$ 行第 $j$ 列的格子储存着（i xor j）点能量。
所以，整个表格储存的总能量是，

随着时间的推移，格子中的能量会渐渐减少。
一个时间单位，每个格子中的能量会减少 $1$。
显然，一个格子的能量减少到 $0$ 之后就不会再减少了。
也就是说，$k$ 个时间单位后，整个表格储存的总能量是，

给出一个表格，求 $k$ 个时间单位后它储存的总能量。
由于总能量可能较大，输出时对 $p$ 取模。

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【输入格式】

第一行一个整数 $T$，表示数据组数。
接下来 $T$ 行，每行四个整数 $n、m、k、p$。

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【输出格式】

共 $T$ 行，每行一个数，表示总能量对 $p$ 取模后的结果。

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【样例输入】

3
2 2 0 100
3 3 0 100
3 3 1 100

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【样例输出】

2
12
6

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【数据规模和约定】

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【想法】

这个题目我开始是想找规律，然后确实发现了一些“规律”，结果敲了半个小时发现错了，改进“规律”后又敲了半个小时，结果发现又错了，然后又改进………

然后，然后就没有然后了。
当我幡然醒悟，考试就结束了QWQ

据说题目正解是 “shuwei” DP，反正我是不懂。

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T2 数字配对

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【问题描述】

有 $n$ 种数字，第 $i$ 种数字是 $a_i$ 、有 $b_i$ 个，权值是 $c_i$ 。
若两个数字 $a_i$ 、$a_j$ 满足， $a_i$ 是 $a_j$ 的倍数，且 $\frac{a_i}{a_j}$ 是一个质数，那么这两个数字可以配对，并获得 $c_i · c_j$ 的价值。
一个数字只能参与一次配对，可以不参与配对。
在获得的价值总和不小于 $0$ 的前提下，求最多进行多少次配对。

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【输入格式】

第一行一个整数 $n$。
第二行 $n$ 个整数 $a_1$ 、$a_2$ 、……、$a_n$ 。
第三行 $n$ 个整数 $b_1$ 、$b_2$ 、……、$b_n$ 。
第四行 $n$ 个整数 $c_1$ 、$c_2$ 、……、$c_n$ 。

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【输出格式】

一行一个数，最多进行多少次配对。

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【样例输入】

3
2 4 8
2 200 7
-1 -2 1

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【样例输出】

4

【数据规模和约定】

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【Solution】

在考场上根本就没有想，只是最开始阅读所有题目时扫了一眼，之后就再也没有看过了。
当时就感觉这道题有二分图的味道，配对是吧，那不就是连边吗？？？

我们将所有满足条件的几对不同种类的数连起来，然后从源点向这对数的一边连一条容量为 $b_i$，费用为 $0$ 的边，从这对数的另一边向汇点连一条容量为 $b_j$，费用为 $0$ 的边，然后将它们之间连一条容量为 $+∞$，费用为 $-c_i·c_j$ 的边。

然后不断地找最小费用增广路。
每次增广，我们付出的都是最小的代价。
所以，当 当前最小费用 大于 $0$ 时，我们就可以知道，当前的最大流就为所求解。
注意，最后一次增广时的流量也要计算进去啊（找到能使 当前最小费用 小于等于 $0$ 的最大的流量），具体实现请见代码。

问题又来了，那我们怎么判断从一对数的哪一边连到汇点和源点呢？？
根据唯一分解定理，

$a_i=P_1^{d_1}·P_2^{d_2}·P_3^{d_3}......P_l^{d_l}$，$d_k ∈ N$，
$a_j=P_1^{e_1}·P_2^{e_2}·P_3^{e_3}……P_q^{e_q}$，$e_k ∈ N$，

所以，若 $a_i ≡ 0 (mod\ a_j)$ 且 $\frac{a_i}{a_j}$ 为质数，那么有且只有一个 $k∈N^*$，使得 $d_k=e_k+1$，$d_m=e_m$，$m≠k$，$l=q$。

综上，$\sum^{k=1}_{p}d_k=\sum^{k=1}_{q}e_k+1$，所以 $a_i$ 与 $a_j$ 的质因子个数必定一奇一偶，所以我们可以按照质因子个数的奇偶性将一对数对给分成两边。

问题得解。

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【Code】

[cpp]

1. #include <iostream>  
2. #include <cstdio>  
3. #include <cstring>  
4. #include <queue>  
5. #include <cmath>  
6.   
7. #define LL long long  
8.   
9. #define ANOTHER 200  
10. #define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))  
11. #define INF 0x3f3f3f3f  
12. #define ss 0  
13. #define tt 500  
14.   
15. using namespace std;  
16.   
17. LL n,Minx,ans,cnt,tot,Max_flow,sum;  
18. bool flag;  
19. bool lefts[1000];  
20. LL a[1000],b[1000],c[1000];  
21. LL nxt[100100],head[510];  
22. LL data[100100],wei[100100],flow[100100];  
23. LL f[300][300];  
24. LL dis[510],pre[510];  
25. bool in_stack[510];  
26. queue<LL>q;  
27.   
28. void add(LL x,LL y,LL a,LL b){  
29.     nxt[cnt]=head[x];data[cnt]=y;wei[cnt]=b;flow[cnt]=a;head[x]=cnt++;  
30.     nxt[cnt]=head[y];data[cnt]=x;wei[cnt]=-b;flow[cnt]=0;head[y]=cnt++;  
31. }  
32.   
33. bool BFS(){      
34.     memset(dis,0x3f,sizeof dis);dis[ss]=0;in_stack[ss]=true;q.push(ss);pre[ss]=pre[tt]=-1;      
35.     while(!q.empty()){      
36.         LL now=q.front();      
37.         q.pop();      
38.         in_stack[now]=false;      
39.         for(LL i=head[now];i!=-1;i=nxt[i]){      
40.             if(flow[i]!=0&&dis[data[i]]>dis[now]+wei[i]){      
41.                 dis[data[i]]=dis[now]+wei[i];      
42.                 pre[data[i]]=i^1;      
43.                 if(!in_stack[data[i]]){      
44.                     in_stack[data[i]]=true;      
45.                     q.push(data[i]);      
46.                 }      
47.             }      
48.         }      
49.     }      
50.     return pre[tt]!=-1;      
51. }      
52.       
53. bool dfs(){  
54.       
55.     LL Low=INF;      
56.       
57.     for(LL i=pre[tt];i!=-1;i=pre[data[i]])Low=Min(Low,flow[i^1]);      
58.     for(LL i=pre[tt];i!=-1;i=pre[data[i]])flow[i^1]-=Low,flow[i]+=Low;       
59.       
60.     LL tmp=ans;  
61.       
62.     ans+=Low*dis[tt];  
63.           
64.     if(ans>0){  
65.         printf(”%I64d\n”,(0-tmp)/dis[tt]+Max_flow);  
66.         flag=true;  
67.         return false;  
68.     }  
69.     Max_flow+=Low;  
70.     return true;  
71. }  
72.   
73. bool is_prime(LL x){  
74.     LL px=(LL)sqrt((double)x);  
75.     for(LL i=2;i<=px;i++)if(!(x%i))return false;  
76.     return true;  
77. }  
78.   
79. int main(){  
80.       
81.     freopen(”pair.in”,“r”,stdin);  
82.     freopen(”pair.out”,“w”,stdout);  
83.       
84.     memset(head,-1,sizeof head);  
85.       
86.     scanf(”%I64d”,&n);  
87.     for(LL i=1;i<=n;i++)scanf(“%I64d”,&a[i]);  
88.     for(LL i=1;i<=n;i++){  
89.         scanf(”%I64d”,&b[i]);  
90.         sum+=b[i];  
91.     }  
92.     for(LL i=1;i<=n;i++)scanf(“%I64d”,&c[i]);  
93.       
94.     for(LL i=1;i<=n;i++){  
95.         LL tmp=a[i];  
96.         LL tot=0;  
97.         for(LL j=2;j<=tmp;j++){  
98.             if(tmp%j==0){  
99.                 while(tmp%j==0){  
100.                     tmp/=j;  
101.                     tot++;  
102.                 }  
103.             }  
104.         }  
105.         if((tot&1))   
106.             lefts[i]=true;  
107.     }  
108.       
109.     for(LL i=1;i<=n;i++){  
110.         for(LL j=i+1;j<=n;j++)  
111.             if((a[i]%a[j]==0&&is_prime(a[i]/a[j]))||(a[j]%a[i]==0&&is_prime(a[j]/a[i]))){  
112.                 if(lefts[i])  
113.                     add(i,j,INF,-c[i]*c[j]);  
114.                 else  
115.                     add(j,i,INF,-c[i]*c[j]);  
116.             }  
117.     }  
118.               
119.     for(LL i=1;i<=n;i++){  
120.         if(lefts[i])  
121.             add(ss,i,b[i],0);  
122.         else  
123.             add(i,tt,b[i],0);   
124.     }  
125.     while(BFS())if(!dfs())break;  
126.     if(!flag)printf(“%I64d\n”,Max_flow);  
127.       
128.     return 0;  
129. }  

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T3 游戏

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【问题描述】

Alice 和 Bob 在玩一个游戏。
游戏在一棵有 $n$ 个点的树上进行。
最初，每个点上都只有一个数字，那个数字是 123456789123456789。
有时，Alice 会选择一条从 $s$ 到 $t$ 的路径，在这条路径上的每一个点上都添加一个数字。
对于路径上的一个点 $r$，若 $r$ 与 $s$ 的距离是dis，那么 Alice 在点 $r$ 上添加的数字是$a ·dis + b$。
有时，Bob 会选择一条从 $s$ 到 $t$ 的路径。
他需要先从这条路径上选择一个点，再从那个点上选择一个数字。
Bob 选择的数字越小越好，但大量的数字让Bob 眼花缭乱。
Bob 需要你帮他找出他能够选择的最小的数字。

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【输入格式】

第一行两个数字 $n$、$m$，表示树的点数和进行的操作数。
接下来 $n-1$ 行，每行三个数字 $u、v、w$，表示树上有一条连接 $u、v$ 的边，长度是 $w$。
接下来 $m$ 行，每行第一个数是 $1$ 或 $2$。
若第一个数是 $1$，表示 Alice 进行操作，接下来四个数字 $s、t、a、b$。
若第一个数是 $2$，表示 Bob 进行操作，接下来两个数字 $s、t$。

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【输出格式】

每当 Bob 进行操作，输出一行一个数，表示他能够选择的最小的数字。

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【样例输入】

3 5
1 2 10
2 3 20
2 1 3
1 2 3 5 6
2 2 3
1 2 3 -5 -6
2 2 3

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【样例输出】

123456789123456789
6
-106

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【数据规模和约定】

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【想法】

据说是搜索？