洛谷 P3768

$$\begin{align*} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)\\ &=\sum_{d=1}^n d \sum_{d|i}\mu (\frac{i}{d})\sum_{i|j}\sum_{i|k}jk\\ &=\sum_{d=1}^n d \sum_{d|i}\mu (\frac{i}{d})\frac{i^2\lfloor\frac{n}{i}\rfloor^2(1+\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)^2}{4}\\ &=\sum_{i=1}^n \frac{i^2\lfloor\frac{n}{i}\rfloor^2(1+\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)^2}{4} \sum_{d|i}d\cdot \mu(\frac{i}{d}) \end{align*}$$

因为有 $\mu * id = \varphi$，其中 $*$ 为Dirichlet卷积，即

$$\sum_{d|i}\mu(d)\cdot \frac{i}{d}=\varphi(i)$$

则原式为

$$\begin{align*} &\sum_{i=1}^n \frac{i^2\lfloor\frac{n}{i}\rfloor^2(1+\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)^2}{4}\varphi(i)\\ =& \sum_{i=1}^n \frac{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor^2(1+\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)^2}{4} i^2\cdot \varphi(i) \end{align*}$$

若能求出 $f(i)=i^2\cdot \varphi(i)$ 的值，即可利用下底函数的分块做到 $O(\sqrt{n} + T(QueryF))$

设 $S(i)=\sum_{j=1}^if(j)$，则

$$\begin{align*} &\sum_{i=1}^n(f*id^2)(i) \\ =&\sum_{i=1}^ni^3\\ =&\sum_{j=1}^nj^2\cdot S(\lfloor\frac{n}{j}\rfloor) \end{align*}$$

于是

$$S(n)=\sum_{i=1}^ni^3-\sum_{i=2}^ni^2\cdot S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor)$$

利用线性筛预处理前 $O(n^{\frac{2}{3}})$ 的部分，然后求前缀和的复杂度就只有 $O(n^{\frac{2}{3}})$ 了。

注意 $n$ 比较大，要用到 $O(1)$ 的快速乘。