差分约束小结（gzoi太过分啦，把我的code删啦qwq）

最新推荐文章于 2025-03-19 21:21:23 发布

Wyt_code

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分类专栏：差分约束系统图论文章标签： c 算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Wyt_code/article/details/82824523

差分约束系统同时被 2 个专栏收录

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本文深入探讨了差分约束系统的基本原理及其与最短路径算法的关系，通过实例解析了如何利用最短路径算法解决差分约束系统的问题，并提供了一道具体的竞赛题目示例，展示了算法的具体应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先讲一下原理（dalao写的，算法导论的不详细）：

假设约束系统存在解，我们知道，给定超级源点的一个偏移量d[0]（即d[0]不一定为0），就能由最短路径树确定差分约束系统的一组解（树上两点间路径唯一确定）。同样的，给定最短路径树上任一个节点的值d[v]，都可以求出超级源点的偏移量d[0]，同样也确定了差分约束系统的一组解。对于从0到v的任意一条路径p(0,v1,v2,...,vN,v)，其所表示的约束式分别为：x[v1]-x[0] <= 0；x[v2]-x[v1] <= w(v1,v2)；...；x[v]-x[vN] <= w(vN,v)。叠加得到x[v]-x[0] <= w(p)，令x[0]为确定值d[0]，即x[v] <= d[0]+w(p)，p为从0到v的任意路径。取p为0到v的最短路p*，就有x[v] <= x[0]+w(p*) <= x[0]+w(p)。则当x[v]=d[0]+w(p*)时x[v]取得最大值。

接下来是模版：

1. x[1]-x[0]<=w<1,0> x[2]-x[1]<=w<2,1> 则在0到1，1到2建一条边为对应的weight，找最长路；

2. x[1]-x[0]>=w<1,0> x[2]-x[1]>=w<2,1> 则找最短路；

接下来是题目

	Problem A	关系运算图
	Problem B	man
	Problem C	CJB比身高
	Problem D	树上的猴子
	Problem E	小K的农场

Problem A: 关系运算图

Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 128 MB

Description

给出一有向图，图中每条边都被标上了关系运算符‘<’,‘>’,‘=’。现在要给图中每个顶点标上一个大于等于0,小于等于k的某个整数使所有边上的符号得到满足。若存在这样的k，则求最小的k，若任何k都无法满足则输出NO。

例如下表中最小的k为2。

结点1>结点2

结点2>结点3

结点2>结点4

结点3=结点4

如果存在这样的k，输出最小的k值；否则输出‘NO’。

Input

共二行，第一行有二个空格隔开的整数n和m。n表示G的结点个数，m表示G的边数，其中1<=n<=1000, 0<=m<=10000。全部结点用1到n标出，图中任何二点之间最多只有一条边，且不存在自环。

第二行共有3m个用空格隔开的整数，第3i-2和第3i-1（1<=i<=m）个数表示第i条边的顶点。第3i个数表示第i条边上的符号，其值用集合{-1，0，1}中的数表示：-1表示‘<’, 0 表示‘=’, 1表示‘>’。

Output

仅一行，如无解则输出‘NO’；否则输出最小的k的值。

Sample Input

1 2 -1 2 3 0 2 4 -1 3 4 -1

Sample Output

codeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#define maxn 1005
using namespace std;
struct edg{
int to,l;
edg(int tt,int ll):to(tt),l(ll){}
};
vector<edg> G[maxn];
int s[maxn],ma;
int in[maxn],st[maxn],tot;
int m,n;
bool pd[maxn];
queue<int> Q;
int main()
{int u,v,wi;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {scanf("%d%d%d",&u,&v,&wi);
    if(wi==1) {G[v].push_back(edg(u,1));in[u]++;}
    if(wi==-1) {G[u].push_back(edg(v,1));in[v]++;}
    if(wi==0) {G[u].push_back(edg(v,0));    
                    G[v].push_back(edg(u,0));}//差分约束建图；
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(in[i]==0) st[++tot]=i;//找最小点，及入度为0；
for(int i=1;i<=tot;i++){
    memset(s,0,sizeof(s));
     memset(in,0,sizeof(in));   
      Q.push(st[i]);
      while(!Q.empty())
      {u=Q.front();Q.pop();pd[u]=false;
          for(unsigned int i=0;i<G[u].size();i++)
          {edg v=G[u][i];
            if(s[v.to]<s[u]+v.l)
            {s[v.to]=s[u]+v.l;
              ma=max(ma,s[v.to]);   
             if(!pd[v.to])
             {Q.push(v.to);pd[v.to]=true;in[v.to]++;}
             if(in[v.to]>n+1) {pd[0]=true;break;}//有负环则退；
             }
         }
         if(pd[0]) break;
     }
if(pd[0]) break; 
}
   if(pd[0]) printf("NO\n");
     else printf("%d\n",ma);
     return 0;
 }