快速幂学习笔记

一、快速幂是什么

使用一般方法来计算$x^n$需要计算$n$次，而快速幂就是一种只需要计算$lo{g}_2(n)$次就可以计算出$x^n$的算法。

二、原理

1.$n^a{n}^b=n^{a+b}$(容易得很，是八年级数学内容吧)
2.二进制：假设$n=(10{)}_{10}$，那么$n=(1010{)}_2=2^3+2^1$,所以$x^{10}=x^{2^3}\times x^{2^1}$。
3.位运算：这里主要用到三种:&(按位与)、|(按位或)和>>(右移)。

&：按位与
   将参与运算的两个数的二进制位对应，当对应的两个位均为1时，结果的对应位才为1，否则为0。
9&5相当于1001&0101，结果为0001，即1。

十进制     二进制
9     =    1001
5     =    0101
9&5   =    0001

|：按位或
   将参与运算的两个数的二进制位对应，对应的两个位有一个为1，结果的对应位就为1，否则为0。
9|5相当于1001|0101，结果为1101，即13。

十进制     二进制
9     =    1001
5     =    0101
9|5   =    1101

>>：右移
    a>>b即将a的各二进制位向右移b位。
设a=15,b=2,a>>b表示把1111右移2位，结果为0011，即3。

三、实现

(以下为详细解释，可以不看)
假设$n=11$，求$x^n$
定义一个$t=x$，表示$x$的方
定义一个$ans=1$，用来存答案

---

第一轮循环

while(n>0)
{
	//11->1011
	//x^11=x^8*x^2*x^1
	if(n&1)//看二进制下n的最后一位是不是1，如果是，代表x^11=x^8*x^2*x^1中的x^1是存在的
		ans*=t;//ans乘上x^1
	t*=t;//x^1自乘一次，变成x^2
	n>>=1;//1011变为0101，删掉已经处理过的一位
}

---

第二轮循环

0101最后一位是1，说明x^2存在，ans乘上x^2。
t自乘，变为x^4.
n右移，变为0010

---

第三轮循环

0010最后一位是0，说明x^4不存在，于是不进行操作。
t自乘，变为x^8
n右移，变为0001

---

第四轮循环

0001最后一位是1，说明x^8存在，ans乘上x^8。
t自乘，变为x^16.
n右移，变为0000

---

$n=0$，华丽结束。

四、取余运算

快速幂经常要与取余运算相结合，这里也要介绍一下。
取余运算(%)有几个性质：
1.$(a+b)$%$m$$=(a$%$m+b$%$m)$%$m$
2.$(a\times b)$%$m$$=((a$%$m)\times (b$%$m))$%$m$
于是在快速幂中进行取余运算可以：

while(n>0)
{
	if(n&1)
	{
		ans*=t;
		ans%=m;//取余
	}
	t*=t;
	t%=m;//取余
	n>>=1;
}

终于结束了！

撒花！

附上完整代码

//普通版
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL unsigned long long
using namespace std;
LL x,n;
LL qpow(LL x,LL n)
{
	LL t=x,ans=1;
	while(n>0)
	{
		if(n&1)
			ans*=t;
		t*=t;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	cin>>x>>n;
	cout<<qpow(x,n)<<endl;
	return 0;
}

//取余运算版
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL unsigned long long
using namespace std;
LL x,n,m;
LL qpow(LL x,LL n,LL m)
{
	LL t=x,ans=1;
	while(n>0)
	{
		if(n&1)
		{
			ans*=t;
			ans%=m;
		}
		t*=t;
		t%=m;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	cin>>x>>n>>m;
	cout<<qpow(x,n,m)<<endl;
	return 0;
}

有错误欢迎大佬指出！