洛谷 P2384 最短路

这是一篇关于解决洛谷P2384题目的文章,题目要求在给定的带权有向图中找到从节点1到节点n边权之积最小的简单路径。通过输入n个点m条边的信息,使用邻接表结合SPFA算法求解,确保在数据限制范围内,如n<=1000, m<=1000000,且边权不超过10000。文章会提供具体的解题思路和输出格式说明。" 128179412,8732791,知识图谱的系统工程视角,"['知识图谱', '数据工程', '信息管理', '人工智能', '数据科学']

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洛谷 P2384 最短路

题目原地址 https://www.luogu.org/problem/P2384

  • 题目描述
    给定n个点的带权有向图,求从1到n的路径中边权之积最小的简单路径。
  • 输入格式
    第一行读入两个整数n,m,表示共n个点m条边。 接下来m行,每行三个正整数x,y,z,表示点x到点y有一条边权为z的边。
  • 输出格式
    输出仅包括一行,记为所求路径的边权之积,由于答案可能很大,因此狗哥仁慈地让你输出它模9987的余数即可。
  • 数据限制
    对于20%的数据,n<=10。
    对于100%的数据,n<=1000,m<=1000000。边权不超过10000。
  • 输入输出样例
    - 输入
3 3
1 2 3 
2 3 3 
1 3 10

-输出

9

整体思路:邻接表+SPFA直接带走

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n,m,head[320000],cnt,dis[150000],vis[150000];
struct node{
	int next;
	int from,to,dis;
}s[3200000];
void add_edge(int from,int to,int dis){
	s[++cnt].next=head[from];
	s[cnt].to=to;
	s[cnt].dis=dis;
	head[from]=cnt;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	memset(head,0,sizeof(head));
	memset(dis,inf,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=0;i<m;i++){
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		add_edge(a,b,c);
		add_edge(b,a,c);
	}
	vis[1]=1,dis[1]=0;
	queue<int>Q;
	Q.push(1);
	while(!Q.empty()){
		int u=Q.front();
		Q.pop();
		vis[u]=0;
		for(int i= head[u];i;i=s[i].next){
			int to=s[i].to;
			int di=s[i].dis;
			if(dis[to]>dis[u] + di){
				dis[to]=dis[u]+di;
				if(!vis[to]){
					vis[to]=1;
					Q.push(to);
				}
			}
		}
	}
	cout<<dis[n]%9987;
	return 0;
}
### 关于 P1948 的分层短路径问题 #### 问题背景 P1948 是一道典型的 **分层图短路径问题**。这类问题通常通过构建多个层次的图来模拟某些特殊条件下的状态转移,例如时间、费用或其他约束条件的变化。 --- #### 分层图的概念 分层图是一种扩展原图的方式,在原有基础上增加额外的状态维度(如层数)。每一层对应一种特定的状态或阶段,不同层之间可以通过某种规则相互连接[^3]。这种建模方式非常适合处理带有多重限制的短路径问题。 --- #### 解题思路分析 对于该问题的核心在于如何利用已知算法求解分层图中的短路径: 1. **模型转换** 将原始单层图转化为多层图,每层表示不同的状态变化。假设总共有 \( k \) 层,则每个节点会复制成 \( k \) 份,形成新的节点集合。相邻两层间按照题目给定的规则建立边的关系。 2. **适用算法选择** - 如果不存在负权边,可以采用 **Dijkstra 算法** 来高效求解。 ```python import heapq def dijkstra(graph, start_node): dist = {node: float('inf') for node in graph} dist[start_node] = 0 pq = [(0, start_node)] while pq: current_dist, u = heapq.heappop(pq) if current_dist > dist[u]: continue for v, weight in graph[u]: distance = current_dist + weight if distance < dist[v]: dist[v] = distance heapq.heappush(pq, (distance, v)) return dist ``` - 若存在负权边或者需要多次松弛操作验证更优解,则应选用 **Bellman-Ford 算法** 或其队列优化版本——**SPFA 算法**[^2]。 3. **初始化与边界条件** 设置初始点所在的具体位置以及目标终点的位置关系。特别需要注意的是,由于引入了更多虚拟节点和边,因此要仔细定义起始状态及其权重设置[^1]。 4. **复杂度考量** 构造后的分层图规模可能显著增大,需评估所选算法的时间开销是否会超出允许范围。一般情况下,\( O((V+E)\log V) \) 的 Dijkstra 性能优于线性的 Bellman-Ford (\(O(VE)\)) ,但在稀疏图上 SPFA 可能表现更好。 --- #### 示例实现代码 以下是基于 Python 的简单实现框架,展示如何应用上述方法解决问题: ```python from collections import deque, defaultdict def build_layered_graph(original_graph, layers_count, transition_rule): layered_graph = {} # 初始化各层节点并按规则连通它们 for layer in range(layers_count): for node in original_graph.keys(): key = (layer, node) if key not in layered_graph: layered_graph[key] = [] # 添加同层邻居 for neighbor, cost in original_graph[node]: next_key = (layer, neighbor) layered_graph[key].append((next_key, cost)) # 根据transition rule跨层链接 new_layer, extra_cost = transition_rule(layer, node) if new_layer >= 0 and new_layer < layers_count: cross_key = (new_layer, node) layered_graph[key].append((cross_key, extra_cost)) return layered_graph def spfa(graph, source): distances = defaultdict(lambda : float('inf')) predecessors = {} queue = deque() distances[source] = 0 queue.append(source) while queue: current = queue.popleft() for neighbor, edge_weight in graph.get(current, []): potential_new_distance = distances[current] + edge_weight if potential_new_distance < distances[neighbor]: distances[neighbor] = potential_new_distance predecessors[neighbor] = current if neighbor not in queue: queue.append(neighbor) return dict(distances), predecessors ``` --- #### 注意事项 - 转化过程中务必保持逻辑一致性,确保新增加的边满足实际意义; - 对大规模输入数据预估运行效率,必要时采取剪枝策略减少冗余运算; ---
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