【线性代数】1行列式

是Winky啊

已于 2025-05-14 20:59:44 修改

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分类专栏： # 线性代数文章标签：线性代数机器学习人工智能

于 2025-02-13 20:27:27 首次发布

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1. 行列式的定义与性质

1.1.三种定义

行列式的符号表示： $\left | A \right |,det(A)$

行列式的计算结果：一个数

1.1.1.本质定义（柯西）

见蓝皮书 $p9\sim 12$

1.1.2.逆序数法定义（阶数≤3）

$n$ 阶行列式 $|A|=\sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$

逆序定义：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。

示例：在排列 $3,1,4,2$ 中， $3$ 与 $1$ 是一个逆序，因为 $3>1$ 且 $3$ 在 $1$ 前面； $3$ 与 $2$ 也是一个逆序； $4$ 与 $2$ 同样也是逆序。

逆序数定义：一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

计算方法：可以从排列的第一个数开始，依次计算每个数后面比它小的数的个数，然后将这些个数相加，就得倒序数。

示例：对于排列 $5,3,4,2,1$ ， $5$ 后面比 $5$ 小的数有 $4$ 个 $(3,4,2,1)$ ； $3$ 后面比 $3$ 小的数有 $2$ 个 $(2,1)$ ； $4$ 后面比 $4$ 小的数有 $2$ 个 $(2,1)$ ； $2$ 后面比 $2$ 小的数有 $1$ 个。所以逆序数为 $4+2+2+1=9$ 。

表示：通常用 $\tau$ (希腊字母，读音为“陶”)来表示逆序数，如 $\tau (5,3,4,2,1)=9$ 。
逆序数在判断排列的奇偶性以及行列式的计算等方面都有重要应用。如果一个排列的逆序数是偶数，则称该排列为偶排列；如果逆序数是奇数，则称该排列为奇排列。

二阶行列式： $\begin{vmatrix} a &b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$

三阶行列式： $\begin{vmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 2 & -1 & 7 \\-5 & 3 & 1\end{vmatrix}$

n阶行列式： $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$

🍎计算行列式 $\begin{vmatrix} 1&-1\\ 4&2 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1&-1\\ 4&2 \end{vmatrix}=1\times 2-\left ( -1 \right )\times 4=6$

1.1.3.展开定义（阶数>3）

余子式： $M_{ij}$ 表示 $n$ 阶行列式去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩下的 $n-1$ 阶行列式

代数余子式： $\ A_{ij}=(-1)^{i+j}\ M_{ij}$

🍎 $D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix},$ 求 $M_{12}$ 和 $A_{23}.$

$D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$

$M_{12} = \begin{vmatrix}4 & 6 \\ 7 & 9\end{vmatrix} = 4\times9 - 6\times7 = -6$

$A_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 7 & 8\end{vmatrix} = -(1\times8 - 2\times7) = 6$

行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$ ，其中 $i=1,2,\cdots,n$ 。

$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}$ ，其中 $j=1,2,\cdots,n$ 。

行列式的某行(列)的各元素与另一行(列)对应的代数余子式乘积之和为 $0$ 。

🍎用行列式展开计算 $D=\begin{vmatrix}1&1&1\\4&3&0\\2&1&0\end{vmatrix}.$

按第 $1$ 行展开：

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} & =1\times A_{11}+1\times A_{12}+1\times A_{13} \\ & =1\times(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}+1\times(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}+1\times(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ & =0+0-2 \\ & =-2 \end{aligned}$

展开的时候尽量找 $0$ 多的行或者列

按第 $3$ 列展开：

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} & =1\times A_{13}+0\times A_{23}+0\times A_{33} \\ & =1\times(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ & =1\times1\times(4\times1-3\times2) \\ & =-2 \end{aligned}$