行列式的三个定义以及七个性质:
行列式有三个常见定义:
三个性质{1.柯西定义2.逆序数定义3.展开式法定义三个性质\begin{cases} 1.柯西定义 \\ 2.逆序数定义 \\ 3.展开式法定义 \\ \end{cases} 三个性质⎩⎪⎨⎪⎧1.柯西定义2.逆序数定义3.展开式法定义
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柯西的几何法定义(二位平面向量构成的平行四边形,三维向量构成的方体,然后推导到n 阶行列式是由n 维向量构成的n 维多边体的体积)
重要观点:
Dn=∣An∗n∣{ ̸=0⇒n个n维向量全独立(线性相关)=0⇒n个n维向量不独立(线性无关)D_n =|A_{n*n}|\begin{cases}\ \ \not=0 \rArr n个n 维向量全独立(线性相关) \\ =0 \rArr n个n维向量不独立(线性无关)\\ \end{cases} Dn=∣An∗n∣{ ̸=0⇒n个n维向量全独立(线性相关)=0⇒n个n维向量不独立(线性无关) -
范德蒙柯西逆序数法(著名的范德蒙行列式)
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克拉默展开式法(可以用来求解多元函数)
行列式的七条性质,是行列式计算的基础,只有牢牢记住这七条性质,才可以灵活的计算行列式的值:
七个性质{1、行列式转置后值不变2、行列式,某两行(列)交换,符号改变3、行列式,某一行(列)加上其他一行(列)的倍数,值不变4、行列式,某一行(列)倍乘k,行列式变成原来的k倍5、行列式,某两行(列)成比例或相等,行列式为06、行列式,某一行(列)为0,行列式为07、对角阵行列式,值等于主对角线元素相乘的乘积七个性质\begin{cases} 1、行列式转置后值不变 \\ 2、行列式,某两行(列)交换,符号改变 \\ 3、行列式,某一行(列)加上其他一行(列)的倍数,值不变\\ 4、行列式,某一行(列)倍乘k,行列式变成原来的k倍\\ 5、行列式,某两行(列)成比例或相等,行列式为0\\ 6、行列式,某一行(列)为0,行列式为0\\ 7、对角阵行列式,值等于主对角线元素相乘的乘积\\ \end{cases}七个性质⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1、行列式转置后值不变2、行列式,某两行(列)交换,符号改变3、行列式,某一行(列)加上其他一行(列)的倍数,值不变4、行列式,某一行(列)倍乘k,行列式变成原来的k倍5、行列式,某两行(列)成比例或相等,行列式为06、行列式,某一行(列)为0,行列式为07、对角阵行列式,值等于主对角线元素相乘的乘积
行列式的求解:
行列式的求解{三阶四阶行列式的求解n 阶行列式的求解行列式的求解\begin{cases}
三阶四阶行列式的求解\\
n\ 阶行列式的求解
\end{cases}行列式的求解{三阶四阶行列式的求解n 阶行列式的求解
n 阶行列式的求解方法通常有:
- 消0化三角法
- 消0降阶法
- 拆项法
- 加边法
- 范式
- 递推法&数学归纳法