【高等数学】5微分方程_在专业学习过程中,除了数学课程,还在哪门课程中涉及到微分方程?可以摘录相关专业-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Winkyyyyyy/article/details/142865067

微分方程：式子里面含有导数的方程

微分方程的阶：式子里最高有一阶导就是一阶方程，二阶就是二阶方程。

微分方程的解：既然是方程，我们最后就是要去求 $y$ 。而求微分方程都是一个求积分的过程，所以结果里会有常数 $C$ 。这个就是通解。如果这个常数 $C$ 能算出来确定的值，那这个就是特解。

1. 一阶微分方程

1.1. 变量可分离的微分方程

定义

若由 $F(x,y,y')=0$ 可得 $\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)$ ，则称其为变量可分离的微分方程。

解题步骤

1. 分离变量。把 $y$ 和 $dy$ 放一边，把 $x$ 和 $dx$ 放另一边

2. 两边同时积分，两边都有常数 $C$ ，在实践中我们在右边写一个 $C$ 就好。

例题

求微分方程 $\frac{dy}{dx}=y\cos\left ( x \right )$ 的通解。

解：

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y\cos x$

$\frac{1}{y}dy=\cos xdx$

$\int\dfrac{1}{y}\mathrm{d}y=\int\cos x\mathrm{d}x$

$ln|y|+C_1=\sin x+C_2$

$ln|y|=\sin x+C$

1.2. 齐次方程

定义

若由 $F(x,y,y')=0$ 可得 $\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$ ，则称其为齐次方程。

解题步骤

1. 把方程化成齐次方程的标准形式： $\frac{dy}{dx}=f\left ( \frac{y}{x} \right )$

2. 设 $u=\frac{y}{x}$ ，并用它来表示方程的两边。（换元为变量可分离方程）

3. 使用分离变量的方法进行求解，最后把 $u$ 换回去。

例题

求解微分方程 $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-y=2\sqrt{xy}(x>0)$

${\frac{dy}{dx}}=2{\sqrt{\frac{y}{x}}}+{\frac{y}{x}}$

设 $u=\frac{y}{x}$ 则 $y=ux$

$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=(ux)'=u+x\frac{du}{dx}$

则原方程化为：

$\begin{aligned} &x{\frac{du}{dx}}=2{\sqrt{u}} \\ &\frac{1}{2\sqrt{u}}\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\mathrm{d}x \\ &\int{\frac{1}{2{\sqrt{u}}}}\mathrm{d}u=\int{\frac{1}{x}}\mathrm{d}x \\ &\sqrt{u}=\ln x+C \\ &\sqrt{\frac{y}{x}}=\ln x+C \end{aligned}$

1.3. 一阶线性方程

定义

若由 $F(x,y,y')=0$ 可得 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ ，则称其为一阶线性方程。

解题步骤

1. 对 $y$ 旁的的 $P(x)$ 求积分得到 $a$ ， $a=\int P(x)dx$

2. 求得 $y=e^{-a}\left ( \int Q(x)e^{a}dx+C \right )$

例题

求方程 $\frac{dy}{dx}-y=2x$ 的通解

$\begin{aligned} P(x)=-x^{0}=-1,Q(x)=2x \\ \begin{aligned}y=\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\left[\int Q(x)\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x} \mathrm{d}x+C\right]\end{aligned} \\ =\mathrm{e}^{x-C}\left[\int2x\mathrm{e}^{-x+C} \mathrm{d}x+C\right] \\ =\mathrm e^x\cdot\mathrm e^{-c}[e^c\cdot\int2x\mathrm e^{-x}~\mathrm dx+C] \\ =\mathrm e^x\cdot[\mathrm e^{-c}\cdot e^c\cdot\int2x\mathrm e^{-x} \mathrm dx+\mathrm e^{-c}\cdot C] \\ =\mathrm{e}^x\cdot[\int2x\mathrm{e}^{-x} \mathrm{d}x+C] \\ =\mathrm e^x\begin{pmatrix}-2x\mathrm e^{-x}-2\mathrm e^{-x}+C\end{pmatrix} \\ =-2x-2+C\mathrm{e}^x \end{aligned}$