HNOI 2012 射箭 半平面交

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2732

Description

沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏，如下图 1 所示，这个游戏中的 x 轴在地面，第一象限中有一些竖直线段作为靶子，任意两个靶子都没有公共部分，也不会接触坐标轴。沫沫控制一个位于(0,0)的弓箭手，可以朝 0 至 90?中的任意角度（不包括 0度和 90度），以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力，并且光之箭没有箭身，箭的轨迹会是一条标准的抛物线，被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了，包括那些 只有端点被射中的靶子。这个游戏有多种模式，其中沫沫最喜欢的是闯关模式。在闯关模式中，第一关只有一个靶 子，射中这个靶子即可进入第二关，这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子，若能够一箭 双雕射中这两个靶子便可进入第三关，这时会出现第三个靶子。依此类推，每过一关都会新出 现一个靶子，在第 K 关必须一箭射中前 K 关出现的所有 K 个靶子才能进入第 K+1 关，否则游戏 结束。沫沫花了很多时间在这个游戏上，却最多只能玩到第七关“七星连珠”，这让她非常困惑。 于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置，想让你告诉她，最多能通过多少关

Input

输入文件第一行是一个正整数N，表示一共有N关。接下来有N行，第i+1行是用空格隔开的三个正整数xi，yi1，yi2(yi1<yi2 )，表示第i关出现的靶子的横坐标是xi，纵坐标的范围是从yi1到yi2 。
输入保证30%的数据满足N≤100，50%的数据满足N≤5000，100%的数据满足N≤100000且给 出的所有坐标不超过109 。

Output

仅包含一个整数，表示最多的通关数。
Sample Input

5
2 8 12
5 4 5
3 8 10
6 2 3
1 3 7
Sample Output

3

题解：对于该二次函数我们可以设为

y=ax²+bx

, 所以有

y1<=ax²1+bx1<=y²

化简可得

b>=y1/x1−ax1

。

同理另半边相同。这样就形成了一个以a，b为未知量的二元一次方程。而题目也就变成了半平面交问题。 通过二分答案， 复杂度就是nlogn的了。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<cassert>
#include<climits>
using namespace std;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define ForD(i,n) for(int i=n;i;i--)
#define Forp(x) for(int p=pre[x];p;p=next[p])
#define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--)
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define MEMI(a) memset(a,127,sizeof(a))
#define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a))
#define INF (2139062143)
#define phiF (1000000006)
#define MAXN (1000000+10)

#define dou long double
typedef long long ll;
const dou inf=1e15;
int tot,n;
struct Point{
    dou x,y;
    Point(){}
    Point(dou x0,dou y0):x(x0),y(y0){}
};
struct Line{
    Point s,e;
    dou k;
    int id;
    Line(){}
    Line(Point s0,Point e0):s(s0),e(e0){}
}l[200005],c[200005],L[200005];

dou operator *(Point p1,Point p2){
    return p1.x*p2.y-p1.y*p2.x;
}
Point operator -(Point p1,Point p2){
    return Point(p1.x-p2.x,p1.y-p2.y);
}
bool cmp(Line p1,Line p2){
    if (p1.k==p2.k) return (p2.e-p1.s)*(p1.e-p1.s)>=0;
    else return p1.k<p2.k;
}
Point inter(Line p1,Line p2){
    dou k1=(p2.e-p1.s)*(p1.e-p1.s);
    dou k2=(p1.e-p1.s)*(p2.s-p1.s);
    dou t=(k2)/(k1+k2);
    dou x=p2.s.x+(p2.e.x-p2.s.x)*t;
    dou y=p2.s.y+(p2.e.y-p2.s.y)*t;
    return Point(x,y);
}
bool jud(Line p1,Line p2,Line p3){
    Point p=inter(p1,p2);
    return (p-p3.s)*(p3.e-p3.s)>0;
}

bool check(int mid){
    int Tot(0);
    For (i,tot){
        if (l[i].id<=mid) L[++Tot]=l[i];
    }
    int cnt(1);
    Fork (i,2,Tot)
      if (L[i].k!=L[i-1].k) L[++cnt]=L[i]; 
      
     int ll=1,rr=2;
     c[1]=L[1];c[2]=L[2];
     for (int i=3;i<=Tot;i++){
         while (ll<rr&&jud(c[rr],c[rr-1],L[i])) rr--;
         while (ll<rr&&jud(c[ll],c[ll+1],L[i])) ll++;
         c[++rr]=L[i];
     } 
     while (ll<rr&&jud(c[rr],c[rr-1],c[ll])) rr--;
     while (ll<rr&&jud(c[ll],c[ll+1],c[rr])) ll++;
     if (rr-ll+1<3) return 0;
     else return 1; 
      
    
}


int main(){
    dou x,y1,y2;
    scanf("%d",&n);
    l[++tot].s=Point(-inf,inf);l[tot].e=Point(-inf,-inf);
    l[++tot].s=Point(-inf,-inf);l[tot].e=Point(inf,-inf);
    l[++tot].s=Point(inf,-inf);l[tot].e=Point(inf,inf);
    l[++tot].s=Point(inf,inf);l[tot].e=Point(-inf,inf);
    For (i,n){
        scanf("%llf%llf%llf",&x,&y1,&y2);
         l[++tot].s.x=-1;l[tot].s.y=y1/x-(-1)*x;
         l[tot].e.x=1;l[tot].e.y=y1/x-x;
         l[tot].id=i;
         l[++tot].s.x=1;l[tot].s.y=y2/x-x;
         l[tot].e.x=-1;l[tot].e.y=y2/x+x;
         l[tot].id=i;
    }
    
    For (i,tot) l[i].k=atan2(l[i].e.y-l[i].s.y,l[i].e.x-l[i].s.x);
    sort(l+1,l+1+tot,cmp);
    int ans(0);
    for (int lef=1,righ=n;lef<=righ;){
        int mid=(lef+righ)>>1;
        if (check(mid)) {
            ans=mid;
            lef=mid+1;
        }else righ=mid-1;
        
    }
    printf("%d",ans);
    
}