bzoj2732: [HNOI2012]射箭【二分答案+半平面交】

Description

沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏，如下图 1 所示，这个游戏中的 x 轴在地面，第一象限中有一些竖直线段作为靶子，任意两个靶子都没有公共部分，也不会接触坐标轴。沫沫控制一个位于(0,0)的弓箭手，可以朝 0 至 90?中的任意角度（不包括 0度和 90度），以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力，并且光之箭没有箭身，箭的轨迹会是一条标准的抛物线，被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了，包括那些 只有端点被射中的靶子。这个游戏有多种模式，其中沫沫最喜欢的是闯关模式。在闯关模式中，第一关只有一个靶 子，射中这个靶子即可进入第二关，这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子，若能够一箭 双雕射中这两个靶子便可进入第三关，这时会出现第三个靶子。依此类推，每过一关都会新出 现一个靶子，在第 K 关必须一箭射中前 K 关出现的所有 K 个靶子才能进入第 K+1 关，否则游戏 结束。沫沫花了很多时间在这个游戏上，却最多只能玩到第七关“七星连珠”，这让她非常困惑。 于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置，想让你告诉她，最多能通过多少关

Input

输入文件第一行是一个正整数N，表示一共有N关。接下来有N行，第i+1行是用空格隔开的三个正整数xi，yi1，yi2(yi1

Output

仅包含一个整数，表示最多的通关数。

Sample Input

5

2 8 12

5 4 5

3 8 10

6 2 3

1 3 7

Sample Output

3

HINT

数据已加强By WWT15。特鸣谢！—2015.03.09
数据再加一组—2017.3.25

解题思路：

数据加强后WA了无数次终于过了，发现可以不用long double。

题目要求的是一个形如$y=ax^2+bx(a<0,b>0)$的二次函数，假如它要过靶$(x,y_1,y_2)$，那么有：$y_1\le ax^2+bx\le y_2$，化简后可得$-xa+\frac{y_1}{x}\le b\le -xa+\frac{y_2}{x}$，现在一个靶就变成了两条关于$a,b$的直线，要求的就是满足限制的最优的$a,b$。

直接二分答案+半平面交判存在可行域即可。

要注意的地方有很多很多……
1.为了最后可行域是一个封闭空间，我们要先加四条边界线，还要体现$a<0,b>0$的限制。
2.判断有解的条件是最后剩下至少三条直线，不然组不成一个封闭空间。
3.为了防止有$y_1=y_2$导致两条直线重合gg的情况，要先把$y_1-eps$，$y_2+eps$。
4.$eps$要开$1e-10$才行。
……
还有很多，代码不同，bug不同，自行寄刀片。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}

const int N=200005;
const double INF=1e10,eps=1e-10;
struct point
{
    double x,y;
    point(){}
    point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}
    inline friend point operator - (const point &a,const point &b)
    {return point(a.x-b.x,a.y-b.y);}
    inline friend point operator + (const point &a,const point &b)
    {return point(a.x+b.x,a.y+b.y);}
    inline friend double operator * (const point &a,const point &b)
    {return a.x*b.y-a.y*b.x;}
    inline friend point operator * (const point &a,const double &b)
    {return point(a.x*b,a.y*b);}
}p[N];
struct line
{
    point st,v;double ang;
    line(){}
    line(point _st,point _v):st(_st),v(_v){ang=atan2(v.y,v.x);}
    inline friend bool operator < (const line &a,const line &b)
    {return a.ang<b.ang;}
}l[N];
int n,m;
double X[N],Y1[N],Y2[N];

bool onleft(const point &a,const line &b)
{
    return b.v*(a-b.st)>0;
}

point get_inter(line a,line b)
{
    double s1=(a.st-b.st)*b.v;
    double s2=b.v*(a.st+a.v-b.st);
    return a.st+a.v*(s1/(s1+s2));
}

bool check(int mid)
{
    m=0;
    l[++m]=line(point(-INF,INF),point(0,-1));
    l[++m]=line(point(-INF,0),point(1,0));
    l[++m]=line(point(0,0),point(0,1));
    l[++m]=line(point(0,INF),point(-1,0));
    for(int i=1;i<=mid;i++)
    {
        l[++m]=line(point(0,Y1[i]/X[i]),point(1,-X[i]));
        l[++m]=line(point(0,Y2[i]/X[i]),point(-1,X[i]));
    }
    sort(l+1,l+m+1);
    int head,tail=1;
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        if(l[i].ang!=l[tail].ang)l[++tail]=l[i];
        else if(onleft(l[i].st,l[tail]))l[tail]=l[i];
    }
    m=tail,head=tail=1;
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        while(head<tail&&!onleft(p[tail],l[i]))tail--;
        while(head<tail&&!onleft(p[head+1],l[i]))head++;
        l[++tail]=l[i];
        if(head<tail)p[tail]=get_inter(l[tail],l[tail-1]);
    }
    while(head<tail&&!onleft(p[tail],l[head]))tail--;
    return tail-head+1>=3;
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    //freopen("lx.out","w",stdout);
    n=getint();
    for(int i=1;i<=n;i++)X[i]=getint(),Y1[i]=getint()-eps,Y2[i]=getint()+eps;
    int L=1,R=n;
    while(L<=R)
    {
        int mid=L+R>>1;
        check(mid)?L=mid+1:R=mid-1;
    }
    cout<<R;
    return 0;
}