幂

题目大意

给你一个$n$，求最小正整数$k$，使得对于任意整数$a$都满足
$a^{n^k}\equiv a(mod\ n)$
或输出无解。

做法

首先发现$n$含有平方因子时是无解的。
假设$n$含有平方因子$p^c$，那么我们令$a=\frac{n}{p^c}p$时是不合法的。
因为$n^k\ge n\ge 2^c\ge c$，因此$a^{n^k}$显然模$n$为0，而显然$a$模$n$不为$0$。
考虑中国剩余定理，因此对于$n$每个质因子$p$都要有$a^{n^k}\equiv a(mod\ p)$
$a$是$p$的倍数显然成立，这里只考虑$(a,p)=1$。
$a^{n^k-1}\equiv 1(mod\ p)$
接下来我们可以证明$p-1|n^k-1$。
因为$p$是质数，一定存在原根$g$。
如果$a=g$，显然$p-1|n^k-1$。
否则设$a=g^c$，显然$c$不为$0$。有$c(n^k-1)\equiv 0(mod\ p-1)$
显然也有$p-1|n^k-1$。
因此我们现在求出所有$p-1$的最小公倍数，记为$lcm$，那么$lcm|n^k-1$。
因此$n^k\equiv 1(mod\ lcm)$。
如果$(n,lcm)$不为$1$显然无解，否则肯定有解，因为$\phi(lcm)$就是可行解。
将$\phi(lcm)$分解质因数，枚举一个质因数并代入检验，即可得到最小。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
ll p[1000];
int c[1000];
ll n,phi,k;
int i,tot,top;
ll random(ll x){
    ll t=rand()%10000;
    t=t*10000+rand()%10000;
    t=t*10000+rand()%10000;
    t=t*10000+rand()%10000;
    return t%x;
}
ll mul(ll a,ll b,ll p){
    ll tmp=(a*b-(ll)((long double)a/p*b+1e-8)*p);
    return tmp<0?tmp+p:(tmp>=p?tmp-p:tmp);
}
ll qsm(ll x,ll y,ll mo){
    if (!y) return 1;
    ll t=qsm(x,y/2,mo);
    t=mul(t,t,mo);
    if (y%2) t=mul(t,x,mo);
    return t;
}
bool Miller_Rabin(ll n){
    if (n==1) return 0;
    int s=10,t=0,i;
    ll a,p,k=n-1;
    while (k%2==0) k/=2,t++;
    while (s--){
        a=random(n-1)+1;
        p=a=qsm(a,k,n);
        fo(i,1,t){
            a=mul(a,a,n);
            if (a==1&&p!=1&&p!=n-1) return 0;
            p=a;
        }
        if (a!=1) return 0;
    }
    return 1;
}
ll gcd(ll a,ll b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll Pollard_Rho(ll n){
    ll k,x,y,c,d,i=1;
    while (1){
        c=random(n-1);
        k=2;y=x=random(n);
        i=1;
        while (1){
            y=(mul(y,y,n)+c)%n;
            d=gcd(abs(x-y),n);
            if (i==k) x=y,k<<=1;
            i++;
            if (d!=1) break;
        }
        if (d!=n) return d;
    }
}
void work(ll n){
    if (Miller_Rabin(n)){
        p[++top]=n;
        return;
    }
    ll p=Pollard_Rho(n);
    ll q=n/p;
    work(p);work(q);
}
void dfs(int x,ll y){
    if (y>=k) return;
    if (x==top+1){
        ll t=qsm(n,y,phi);
        (t+=phi)%=phi;
        if (t==1) k=y;
        return;
    }
    int i;
    ll t=1;
    fo(i,0,c[x]){
        dfs(x+1,y*t);
        t=t*p[x];
    }
}
int main(){
    freopen("pow.in","r",stdin);freopen("pow.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&n);
    work(n);
    sort(p+1,p+top+1);
    phi=1;
    fo(i,1,top){
        phi=phi*(p[i]-1)/gcd(phi,p[i]-1);
        if (p[i]==p[i-1]){
            printf("-1\n");
            return 0;
        }
    }
    if (gcd(phi,n)!=1){
        printf("-1\n");
        return 0;
    }
    if (phi==1){
        printf("1\n");
        return 0;
    }
    top=0;
    work(phi);
    sort(p+1,p+top+1);
    k=1;
    fo(i,1,top){
        if (p[i]==p[i-1]) k=k*p[i];
        else k=k*(p[i]-1);
    }
    if (k==1){
        printf("1\n");
        return 0;
    }
    top=0;
    work(k);
    sort(p+1,p+top+1);
    tot=top;
    top=0;
    fo(i,1,tot){
        if (p[i]!=p[i-1]){
            top++;
            p[top]=p[i];
            c[top]=1;
        }
        else c[top]++;
    }
    dfs(1,1);
    printf("%lld\n",k);
}