running

题目描述

小胡同学是个热爱运动的好孩子。
每天晚上，小胡都会去操场上跑步，学校的操场可以看成一个由n 个格子排成的一个环形，格子按照顺时针顺序从0 到n-1 标号。
小胡观察到有m 个同学在跑步，最开始每个同学都在起点（即0 号格子），每个同学都有个步长ai，每跑一步，每个同学都会往顺时针方向前进ai 个格子。由于跑道是环形的，如果
一个同学站在n-1 这个格子上，如果他前进一个格子，他就会来到0。
他们就这样在跑道上上不知疲倦地跑呀跑呀。小胡同学惊奇地发现，似乎有些格子永远不会被同学跑到，他想知道这些永远不会被任何一个同学跑到的格子的数目，你能帮帮他
吗？（我们假定所有同学都跑到过0 号格子）。
n<=10^9,m<=50

容斥

真的不太会做。
首先我们可以知道步长ai等同于(ai,n)，然后就拆环为链了，同时步长都是n的因数了。
我们容斥选了那些，贡献是$(-1)^{选的数的个数}*\frac{n}{lcm}$
但这是2^50的，所以考虑加点优化
首先对步长去重，不说了
然后对步长去倍数，如果i|j，只需要保留i。
接着在深搜过程中，如果选了这个数和不选这个数的lcm一样，因为延伸出去贡献相同，符号又相反，会正负抵消，退出即可。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
ll ans;
int a[100];
bool bz[1000000+10];
int i,j,k,l,t,n,m;
int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
void dfs(int x,int f,int lcm){
    if (x==m+1){
        ans+=(ll)f*(n/lcm);
        return;
    }
    if ((ll)lcm*a[x]/gcd(lcm,a[x])==lcm) return;
    dfs(x+1,f,lcm);
    dfs(x+1,-f,(ll)lcm*a[x]/gcd(lcm,a[x]));
}
int main(){
    freopen("running.in","r",stdin);freopen("running.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    fo(i,1,m){
        scanf("%d",&a[i]);
        a[i]=gcd(n,a[i]);
    }
    sort(a+1,a+m+1);
    m=unique(a+1,a+m+1)-a-1;
    if (n<=1000000){
        ans=0;
        fo(i,1,m)
            fo(j,1,n/a[i])
                bz[a[i]*j]=1;
        fo(i,1,n) 
            if (!bz[i]) ans++;
        printf("%d\n",ans);
    }
    else{
        fo(i,1,m) bz[i]=0;
        ans=0;
        fd(i,m,2)
            fd(j,i-1,1)
                if (a[i]%a[j]==0) bz[i]=1;
        t=0;
        fo(i,1,m) 
            if (!bz[i]) a[++t]=a[i];
        m=t;
        dfs(1,1,1);
        printf("%d\n",ans);
    }
}