登山

题目大意

在一个网格图中，不能跨越y=x这条直线，只能向右或向上走，问从(0,0)走到(n,n)不经过m个关键点中任意一个的方案数，答案模10^9+7。

任意两点间方案

我们先解决从(i,j)走到(k,l)不跨越y=x，方案是多少。
不跨越y=x，就是不经过y=x+1。
我们知道(i,j)到(k,l)的所有方案为$C_{k-i+l-j}^{k-i}$
意思是一共要走k-i+l-j步，其中有k-i步要向上。
再算出非法方案。
可以作(k,l)关于y=x+1的对称点(l-1,k+1)。
那么(i,j)到(l-1,k+1)的每一条路径都可以对应为(i,j)到(k,l)的一条路径，且这条路径经过了y=x+1，因此为非法路径。
非法路径方案数为$C_{k-i+l-j}^{l-1-i}$
因此便可算出合法路径方案。

DP

将(0,0)和(n,n)分别当作第0与第m+1个关键点。
排一个序，按照包含关系，也就是x第一关键字，y第二关键字从小到大。
calc(i,j)表示从第i个关键点走到第j个关键点不经过y=x+1的方案数。
设f[i]表示从第0个关键点走到第i个关键点只经过了这两个关键点的方案数。
设g[i]表示从第0个关键点走到第i个关键点至少经过三个关键点的方案数。
显然f[i]=calc(0,i)-g[i]。
为了不重复，g[i]的转移也显然
$g[i]=\sum_{j=1}^{i-1}f[j]*calc(j,i)。$
答案便是f[m+1]。