UVA 10820 Send a Table (欧拉函数）

WedsonLin

于 2020-09-27 21:10:16 发布

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分类专栏：数论 ACM 文章标签： acm竞赛

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该博客主要介绍了UVA 10820题目的解决方案，该题目涉及到欧拉函数及其性质。通过欧拉函数的性质简化整数表，并探讨如何计算[1,n]区间内互素整数对的数量。博主提出使用欧拉函数F(x)的表达式以及Eratosthenes筛法来高效求解，时间复杂度为O(nloglogn)。" 87123077,5704200,使用CMake与shell脚本构建项目,"['CMake', '构建工具', 'shell脚本', '自动化']

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UVA 10820 Send a Table (欧拉函数）

输入n，对于整数x,y(1<=x,y<=n)，f(x,y)=f(kx,ky)，k式正整数。
所以可以用过f(x,y)的性质对函数表进行化简。问在[1,n]内最简的整数表有多少个元素。

问题的实质是求在[1,n]内有多少对互素的整数，因为如果x,y不互质，那必然存在因子k，满足f(x’,y’)=f(kx’,ky’)。

对于欧拉函数F，F(x)的值就表示小于n且与n互素的数的个数。
欧拉函数F的表达式可以由相容排斥原理得到，且可以化为下面的形式：
对于x有质因子分解式:x=p₁^a1p₂^a2…p_k^ak
有F(x)=n(1-1/p₁)(1-1/p₂)…(1-1/p_k)

求[1,n]的欧拉函数i表不必对F(1)…F(n)一一求值。可以用Eratosthenes筛法，用[1,n]内的素数p_i累乘去求F(k*p_i)的值，时间复杂度为O(nloglogn)。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int max_n=5e4+5;
int n;
long long f[max_n];
void solve(void)
{
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int i=2;i<max_n;i++)if(!f[i])
	for(int j=i;j<max_n;j+=i)
	{
		if(!f[j])f[j]=j;
		f[j]=f[j]/i*(i-1);
	}
	for(int i=3;i<max_n;i++)
//	cout<<f[i]<<endl;
	f[i]+=f[i-1];
}
int main(void)
{
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	solve();
	while(~scanf("%d",&n)&&n)
	{
		printf("%lld\n",f[n]*2+1);
	}
//	fclose(stdout);
 }