ZCMU 1934: ly的二叉树

最新推荐文章于 2021-08-11 21:06:50 发布

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本文探讨了对于一棵特定数量无编号节点的有根二叉树，如何计算其可能的形态总数。利用Catalan数的性质，通过递推公式结合快速幂算法，解决大数情况下对特定模数取模的问题。

Description

某一天，ly正在上数据结构课。老师在讲台上面讲着二叉树，ly在下面发着呆。
突然ly想到一个问题：对于一棵n个无编号节点的有根二叉树，有多少种形态呐？你能告诉她吗？

Input

多组输入，处理到文件结束
每一组输入一行，一个正整数n(1≤n≤1000000),意义如题目所述。

Output

每组数据输出一行，包含一个正整数表示答案，由于数字可能非常大，你只需要把最后的结果对1000000007取模即可。

Sample Input

Sample Output

本题要用到二叉树形态的Catalan数结论：
n个节点的二叉树形态求解递推公式： $h(n)=\frac{h(n-1)*(4*n-2)}{(n+1)}$ ，其中h(0)=0,h(1)=1。
本题数据过大，需要按题目要求对1000000007取模，但是在四则运算中，在除法运算时取模不等于对除法运算结果取模，由于本题表达式中又含有除法，因此无法直接求出。

求逆元

可将对商取模转换为对被除数和其除数关于1000000007的逆元，即：

(a / b) % p = (a % p * inv(b) % p) % p

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod = 1000000007;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
LL a[N];
LL binary(LL a, LL b)
{
	LL ans = 1;
	a %= mod;
	while (b > 0) {
		if (b & 1) {
			ans = ans * a%mod;
		}
		a = a * a%mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	a[0] = 1;
	a[1] = 1;
	for (int i = 2;i <= N;i++) a[i] = a[i - 1] * (4 * i - 2) % mod*binary(i + 1, mod - 2) % mod;
	LL n;
	while (scanf("%lld", &n) == 1) {
		printf("%lld\n", a[n]);
	}
	return 0;
}