【SUFE】数据结构作业——树

作业04 树

第一题

题目

假设二叉树T是按标准形式存贮的，试编写一个把该树中每个结点的左右子结点进行对换的C++函数。

思路

1. 此处的“标准形式”为数据+指向子结点的指针
   

2. 利用递归，对根结点下面的两个子结点进行交换。返回条件是根结点为空。

源程序清单

//node的结构
struct node {
	int data;
	node* leftChild;	//左子结点
	node* rightChild;	//右子结点
};


//交换结点
//从上到下的顺序换
void swapBinaryTree(node* &head) {
	if (head == NULL) return;   //basecase
	swap(head->leftChild, head->rightChild);	//先换上面的，把它移到最下面也可以
	swapBinaryTree(head->leftChild);
	swapBinaryTree(head->rightChild);
}

第二题

题目

编写一个利用栈来实现后序遍历一棵给定的二叉树的c++函数

思路

1. 题目说利用栈，也就是说可以利用递归。
2. 后序遍历的顺序：左右根
3. 遍历整棵树等于遍历根结点的左、右子树，就这样一直分到最小

源程序清单

//node的结构
struct node {
	int data;
	node* leftChild;	//左子结点
	node* rightChild;	//右子结点
};

//利用栈（即递归）实现后序遍历
void printBinaryTree(node* head) {
	if (head == NULL) {	//某结点为空，返回
		return;
	}

	//左后中的顺序输出
	printBinaryTree(head->leftChild);	
	printBinaryTree(head->rightChild);
	cout << head->data << " ";
}

第三题

题目

如果T是一棵有序树，T’是与T相对应的二叉树。假定T’已按标准形式被存贮，试为下面各小题分别编写一个C++函数：
（1）按前序输出树T的结点值。
（2）按后序输出树T的结点值。
（3）输出树T的叶子结点值。
（4）求出树T的次数。

思路

1. 前面两问就是前、后序遍历并输出，与第二题思路基本一致。
2. 第三问涉及到树转化为二叉树后，叶子结点的变化。下面是一颗树及其对应的二叉树：
   
   因为在转化过程中，

• 树的非左子结点变成了它左子结点及其右子结点（h从e的右子结点变成了e的左子结点）
• 兄弟结点转化为了它的右子结点（c、d从a的右子结点变成了b的右子结点）。
• 而左子结点照旧。
• 总之，只要它有子结点，一定是先变成它的左子结点，再变成其他的。
  所以，如果二叉树的一个结点没有左子结点，说明它既没有右子结点，又没有左子结点，即它是叶子结点。
  于是，我们只需要看二叉树的一个结点是不是没有左子结点，没有就说明它是树的叶子结点。

3. 第四问求次数。已知一个树的次数等于它最多的某个结点的子结点数，由于树变成二叉树时，兄弟结点变成了它的连续右子结点。所以我们看二叉树的最大的连续右子结点的数量就可以求出次数了。

源程序清单

//计算当前结点的最大右连续子结点
// 从自己开始算起，所以head也算数，所以sum初始值为1
int countConRight(node* head) {
	int sum = 1;
	if (head->rightChild != NULL)	// 有右子结点就计数并往右走
		sum += countConRight(head->rightChild);
	else	// 没有右子结点了，作为最大值返回
		return sum;

}

//计算树的次数
//树的次数就是二叉树的左孩子的连续右孩子（包括自己）的最大值
int countTimes(node* head) {
	if (head == NULL) return 0;
	
	int num = countConRight(head);

	//应该还有更优的方法
	//取当前结点的最大右连续数和左右子树的进行比较，取最大值
	//由于根结点不可能有右子结点，所以不用对特殊情况进行处理。
	num = max(max(countTimes(head->rightChild),countTimes(head->leftChild)),num);
	return num;
}

第四题

题目

假设二叉树T的结点值是字符，已知树T中结点的前序和中序，试编写一个把树T按标准形式进行存贮的C++函数。

思路

1. 首先，如果结点的值重复，会有多种情况，所以我们这里假设值不重复。
2. 前序的特点是：从左到右都是根结点；
   中序的特点是：某个结点的左右结点一定都在它的两边。
3. 于是我们的思路就出来了：遍历前序，找到它在中序里面的位置，它左边就是左子树，右边就是右子树，这样就可以把中序不断分层成子树。
   比如，前序的第一个值为根结点，去中序中找到这个结点，它的左边就是根结点的左子树，右边就是根结点的右子树。接着在它的左边找到前序的第二个值的位置，又把它分成左右子树…（以下给出部分过程）
   
4. 我们需要一个指针指向前序，在每次递归中都向后移一步；然后每次递归都把对应的左右子树当作“整棵树”传下去。

源程序清单

本程序参考了这篇博客

//t7，利用二叉树的前序和中序建立树
//由于如果有重复数值可能会有多种情况，所以我们这里假设没有重复数值
//前序的第一个为根节点，中序的根节点左右方分别是左右子树，所以可以利用这一点递归
node* makeTreeByPreIno(char pre[], char ino[], int n) {	//传入的两个参数分别为：前序、中序、数组长度
	if (n == 0) {	//当数组长度为0时，返回NULL
		return NULL;
	}

	// 1.首先取前序的首个作为根节点的值
	node* head = new node;
	head->data = pre[0];

	// 2.接着在中序里面找到这个值
	char* p = ino;	//作为寻找该值的指针
	for (; p < ino + n; p++) {
		if (*p == pre[0])	//找到根节点的位置（值不重复）
			break;
	}

	int leftNum = p - ino;	//左子树的大小，等于中序里面找到的根节点的位置减去开头的位置

	// 3.找到后，它（中序）的左边为左子树，右边为右子树，开始递归

	// 首先是左子树，pre[0]已经是根节点了，所以需要“后移”一位
	// 中序的“子树范围”受leftNum（左子树大小）限制，所以相当于ino和leftNum一起“截取”了该子树
	head->leftChild = makeTreeByPreIno(pre + 1, ino, leftNum);	

	// 接着是右子树，它的起始位置等于起点加左子树的大小。
	// 右子树的起点则为p+1，长度为总长减去左子树长（找到的根节点后面的部分）
	// 而长度则为剩下一部分的长度（传入的长度减一，因为前序的第一个已经是根节点了，所以总长度减一）减去左子树长度
	head->rightChild = makeTreeByPreIno(pre + 1 + leftNum, p + 1, n - leftNum - 1);	

	return head;
}

第五题

题目

在二叉树T中，如果非叶子结点都有两棵非空子树，那么称二叉树T是一棵完全二叉树。试编写一个判断给定的二叉树是否为完全二叉树的C++函数。

思路

1. 题目说了，非叶子结点都有两棵非空子树，这就是个非常好的递归basecase。
2. 只有左右子树均为完全二叉树才算是完全二叉树。而当某个结点左右子结点都为空时，我们就认为它是完全二叉树（只有一个结点的完全二叉树）。

源程序清单

//判断是不是完全二叉树
bool isCompleteBT(node* head) {
	if (head->leftChild == NULL && 
		head->rightChild == NULL) {	//左右子树均为空，说明是叶子结点，返回真
		return true;
	}
	else if (head->leftChild != NULL && head->rightChild != NULL) {	//如果左右子树均不为空，递归下去
		return isCompleteBT(head->leftChild) && isCompleteBT(head->rightChild);	
	}
	else
		return false;	//一个为空，一个不为空，不是完全二叉树
}

第六题

题目

现给出两棵二叉树相似的定义如下：如果这两棵二叉树皆为空；或者这两棵二叉树的根结点的左子树和右子树是分别相似的，那么我们称这两棵二叉树是相似的。试编写一个判断两棵给定的二叉树是否相似的C++函数。

白话：判断两棵二叉树是不是结构一样。

思路

1. 根据题目，很明显可以使用递归。两树均为空、左右子树相似为相似，其他不相似。
2. 本题和上一题基本思路一致，区别只在于判断条件的更改。

源程序清单

//判断两树是否相似
bool isSimilarTree(node* tree1, node* tree2) {
	if (tree1 == NULL && tree2 == NULL)	//两棵子树为空，说明相似
		return true;
	else if (tree1 != NULL && tree2 != NULL)	//没有为空的子树就接着判断子树的相似；
		return isSimilarTree(tree1->leftChild, tree2->leftChild)
		&& isSimilarTree(tree1->rightChild, tree2->rightChild);	//左右子树是否分别相似
	else	//如果一个为空一个不为空，就说明不相似
		return false;
}

  
  
  
  
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第七题

题目

设二叉树T已按前序附带一个标志位和一个右指针的顺序存贮方法存放，试编写一个把树T转换成由标准形式进行存贮的树T’的C++函数。

第八题

题目

假设二叉树T已按前序附加两个标志位的顺序存贮方法存放，且a是T中一个结点的值，试编写一个寻找结点a的父结点的C++函数。

第九题

题目

假设二叉树T是一棵穿线树，试编写一个按前序遍历树T的C++函数。（不允许用递归程序，也不使用数组，只允许增加个别变量）

ps:此处说的穿线树是指线索二叉树，在本题中指按中序顺序的线索二叉树。