数据结构（树）知识点总结上

  															   **树**

树型结构是一类非常重要的非线性结构。直观地，树型结构是以分支关系定义的层次结构

树能干什么：
树在计算机领域中也有着广泛的应用，例如在编译程序中，用树来表示源程序的语法结构；在数据库系统中，可用树来组织信息；在分析算法的行为时，可用树来描述其执行过程等等。

接下来我们来认识一下树：
树(Tree)是n(n≧0)个结点的有限集合T，若n=0时称为空树，否则：
⑴ 有且只有一个特殊的称为树的根(Root)结点；
⑵ 若n>1时，其余的结点被分为m(m>0)个互不相交的子集T1, T2, T3…Tm，其中每个子集本身又是一棵树，称其为根的子树(Subtree)。


注意：
1、子树是不相交的。
2、除了根节点以外， 每个节点有且仅有一个父节点。
3、一棵N个节点的树有N-1条边。

树的术语：

树的节点：即树的数据元素
结点的度：结点拥有的子树数（有几个直接后继就是几度，亦称“次数”）

结点的层次：从根到该结点的层数（根结点算第一层）
终端结点：即度为0的结点，即叶子
分支结点：即度不为0的结点（也称为内部结点）

树的度：所有结点度中的最大值（Max{各结点的度}）
树的深度：指所有结点中最大的层数（Max{各结点的层次}）

上图中的结点数＝13 ；树的度＝3 ；树的深度＝4

根：即根结点(没有前驱)
叶子：即终端结点(没有后继)，度数为0的结点

有序树：结点各子树从左至右有序，不能互换（左为第一）
无序树：结点各子树可互换位置。

双亲：即上层的那个结点(直接前驱)
孩子：即下层结点的子树的根(直接后继)
兄弟：同一双亲下的同层结点（孩子之间互称兄弟）
堂兄弟：即双亲位于同一层的结点（但并非同一双亲）
祖先：即从根到该结点所经分支的所有结点
子孙：即该结点下层子树中的任一结点

二叉树：
定义：是n（n≥0）个结点的有限集合，由一个根结点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成 。
基本特征：① 每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点）,即每个结点的度只可能是0，1，2 ；
② 左子树和右子树次序不能颠倒（有序树）。

二叉树五种基本形态：

(a) 空二叉树(Empty tree)
(b) 仅有根结点的二叉树 (Only root node)
© 右子树为空的二叉树 (Right subtree empty)
(d) 左子树为空的二叉树 (Left subtree empty)
(e) 左、右子树均非空的二叉树

二叉树性质：
性质1 ： 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)。 最少有1个结点。
性质2：深度为k的二叉树至多有2k – 1个结点(k≥1)。最少有k个结点。
性质3: 对于任何一棵二叉树，若度为2的结点数有n2个，则叶子数（n0）必定为n2＋1 （即n0=n2+1）
证明：
∵ 二叉树中全部结点数n＝n0+n1+n2(叶子数＋1度结点数＋2度结点数)
又∵二叉树中全部结点数n＝B+1 ( 总分支数＋根结点 )
（除根结点外，每个结点必有一个直接前趋，即一个分支）
而 总分支数B= n1+2n2 (1度结点必有1个直接后继，2度结点必有2个)
三式联立可得： n0+n1+n2= n1+2n2 +1, 即n0=n2+1
实际意义：叶子数＝2度结点数＋1
example：
已知一棵二叉树中，有20个叶子结点，10个结点只有左孩子，
15个结点只有右孩子，则该二叉树的总结点数（64）.
N＝n0＋n1＋n2
＝ n0＋n1＋n0 – 1
＝ 2n0 ＋ n1 – 1 ＝ 64

满二叉树：一棵深度为k且有2k – 1个结点的二叉树

深度为4的满二叉树

完全二叉树：有n个结点的二叉树，对树中的结点按照从上到下，从左到右的顺序进行编号，编号为i的结点与满二叉树中编号为i的结点位置一样。

二叉树的存储方式：
用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素，将完全二叉树编号为i（从1开始编号）的结点存储在下标为i-1的单元内(数组的起始地址为0)

链式存储二叉树：

二叉树的遍历：

先序遍历：（1）访问根结点；
（2）先序遍历左子树；
（3）先序遍历右子树；

先序遍历：FCADBEHGM

中序遍历：（1）中序遍历左子树
（2）访问根结点
（3）中序遍历右子树

中序遍历：DBGEACF

后序遍历：
（1）后序遍历左子树
（2）后序遍历右子树
（3）访问根结点

上图的后序遍历：DGEBFCA

口诀：
DLR—先序遍历，即先根再左再右
LDR—中序遍历，即先左再根再右
LRD—后序遍历，即先左再右再根

EX:

其先序序列为： -+a* b-cd/ef
其中序序列为： a+b* c-d-e/f
其后序序列为： abcd-*+ef/-

特别讨论：若已知先序/后序遍历结果和中序遍历结果，能否“恢复”出二叉树？
由一棵二叉树的先序/后序遍历结果和中序遍历结果，可唯一确定这棵二叉树。但是已知先序和后序遍历，是不能确定 一颗二叉树的。

例：已知一棵二叉树的中序序列和后序序列分别是BDCEAFHG 和 DECBHGFA，请画出这棵二叉树。
分析：
①由后序遍历特征，根结点必在后序序列尾部（即A）；
②由中序遍历特征，根结点必在其中间，而且其左部必全部是左子树子孙（即BDCE），其右部必全部是右子树子孙（即FHG）；
③继而，根据后序中的DECB子树可确定B为A的左孩子，根据HGF子串可确定F为A的右孩子；以此类推。

比如前序遍历是ABC，后序遍历是CBA。我们可以确定A一定是根结点，但接下来，我们无法知道，哪个结点是左子树，哪个是右子树。这棵树有可能有如图所示的四种可能。