树的计数

《数据结构（C语言版）–严蔚敏》
  问题：具有n个结点的不同形态的树有多少棵？下面我们先讨论二叉树的情况，然后可将结果推广到树。
  在讨论二叉树的计数之前应先明确两个不同的概念。
  称二叉树T和T’相似是指：二者都为空树或者二者都不为空树，且它们的左右子树分别相似。
  称二叉树T和T’等价是指：二者不仅相似，而且所有对应结点上的数据元素均相同。
  二叉树的计数问题就是讨论具体n个结点、互不相似的二叉树的数目$b_n$。
  在n值很小的情况下，可直观地得到：$b_0=1$为空树；$b_1=1$是只有一个根结点的树；$b_2=2$和$b_3=5$。
  一般情况下，一棵具有n（n＞1）个结点的二叉树可以看成是由一个根结点、一棵具有i个结点的左子树和一棵具有$n-i-1$个结点的右子树组成，其中$0≤i≤n-1$。由此可得下列递推公式：

$$y=\begin{cases} b_0 = 1 \\ b_n=\sum_{i=0}^{n-1}b_i*b_{n-i-1}, \quad n≥1 \end{cases}$$
  求解该公式的具体过程略，感兴趣的可自行百度，这里直接给出结果，结果如下：
$$b_n=\frac{(2n)!}{n!·(n+1)!}=\frac{1}{n+1}C_{2n}^n$$
  因此，含有n个结点的不相似的二叉树有$\frac{1}{n+1}C_{2n}^n$棵。

  我们还可以从另一个角度来讨论这个问题。从二叉树的遍历已经知道，给定结点的前序序列和中序序列就可以确定一棵二叉树。
  假设对二叉树的n个结点从1到n加以编号，且令其前序序列为1，2，…，n，则不同形态的二叉树的数目恰好是前序序列均为12…n的二叉树所能得到的中序序列的数目。而中序遍历的过程实质上是一个结点进栈和出栈的过程。由此，由前序序列12…n所能得到的中序序列的数目恰为数列12…n按不同顺序进栈和出栈所能得到的排列的数目。这个数目为$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{1}{n+1}C_{2n}^n$。
  由二叉树的计数可推得树的计数。一棵树转换成唯一的一棵没有右子树的二叉树，反之亦然。则具有n个结点有不同形态的树的数目$t_n$和具有$n-1$个结点互不相似的二叉树的数目相同。即$t_n=b_{n-1}$。
  ps，这里说的树的计数是指有序数。（即有位置区别）