算法导论之二叉排序树

二叉排序树定义：

1、以一颗二叉树来组织。

2、包含属性指向左孩子、右孩子和双亲。

3、对任何结点x，其左子树的关键字最大不超过x->value，其右子树中的关键字最小不低于x->value。

实现代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

struct TreeNode{
	int value;
	struct TreeNode *left;
	struct TreeNode *right;
	struct TreeNode *p;
};

typedef struct TreeNode Node;

//插入节点 
Node *insertNode(Node *t,Node *insert){
	Node *y = NULL;
	Node *x= t;
	while(x!=NULL){
		y=x;
		if(insert->value>x->value)
			x=x->right;
		else x=x->left;
	}
	insert->p=y;
	if(y==NULL)
		t=insert;
	else{
		if(insert->value<y->value)
			y->left=insert;
		else y->right=insert;
	}
	insert->right=NULL;
	insert->left=NULL;
	return t;
} 

//中序遍历
void inOrder(Node *t){
	if(t==NULL){
		return;
	}
	inOrder(t->left);
	printf("%d\t",t->value);
	inOrder(t->right);
} 

//将一颗以v为根的子树来替换一颗以u为根的子树
Node *TRANSPLANT(Node *T,Node *u,Node *v){
	if(u->p==NULL){
		T=v;
	}else if(u==u->p->left){
		u->p->left=v;
	}else{
		u->p->right=v;
	}
	if(v!=NULL){
		v->p=u->p;
	}
	return T;
} 
//找到树T中最小的元素
Node *TREEMININUM(Node *T){
	while(T->left!=NULL)
		T=T->left;
	return T;
} 
//删除树中某结点
Node *deleteNode(Node *T,Node *z){
	if(T->left==NULL){
		T=TRANSPLANT(T,z,z->right);
	}else if(T->right==NULL){
		T=TRANSPLANT(T,z,z->left);
	}else{
		Node *y=TREEMININUM(z->right);
		if(y->p!=z){
			T=TRANSPLANT(T,y,y->right);
			y->right=z->right;
			y->right->p=y;
		}
		T=TRANSPLANT(T,z,y);
		y->left=z->left;
		y->left->p=y;
	}
	return T;
} 

int main(int argc, char *argv[])
{
	Node *T = NULL,*insert=NULL;
	srand((unsigned)time(NULL));
	int n;
	scanf("%d",&n);
	int *num=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
	int i=0;
	for(;i<n;i++){
		num[i]=rand()%100;
		insert= (Node *)malloc(sizeof(Node));
		insert->value=num[i];
		insert->p=NULL;
		T = insertNode(T,insert);
	}
	printf("\n------------随机生成的数------------\n");
	int j=0;
	for(;j<n;j++){
		printf("%d\t",num[j]);
	}
	printf("\n------------二叉排序树的中序遍历------------\n");
	inOrder(T);

	printf("\n------------删除二叉排序树的某元素后中序遍历------------\n");
	T = deleteNode(T,T);
	inOrder(T);

	printf("\n");
	return 0;
}

接下来我们分析一下，各模块的执行时间复杂度。

对于中序遍历void inOrder(Node *t)，如果有n个结点，那么调用的时间为O(n)。

对于查找树T中最小的结点Node *TREEMININUM(Node *T)，如果有n个结点，那么调用的时间为O(lgn)。

对于插入结点Node *insertNode(Node *t,Node *insert)，如果有n个结点，那么调用的时间为O(lgn)。

对于删除某结点Node *deleteNode(Node *T,Node *z)，如果有n个结点，那么调用的时间为O(lgn)。

删除分三种情况：

1、删除结点没有孩子结点，则直接删除，并修改z的父结点，用NULL替换z。

2、删除结点有一个孩子，则将孩子结点提升到树中z的位置上，并修改z的父结点，用z的孩子替换z。

3、删除结点有两个孩子，首先找到z的后继y，并让y占据树中z的位置。在这里又分两种情况：

3.1、y是z的右孩子，那么直接y替换z，z的父结点成为y的父结点，z的左孩子成为y的左孩子。

3.2、y不是z的右孩子，那么先用y的右孩子替换y，而后用y替换z，并修改y的左右孩子等信息。

对于将一颗以v为根的子树来替换一颗以u为根的子树Node *TRANSPLANT(Node *T,Node *u,Node *v)，时间复杂度为O(1)。

参考资料：
算法导论

备注：
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作者：WSYW126