O(n)字符串指针算法总结（最小表示，KMP，manacher，Z-function）

有很多字符串的题可以使用$SA（SuffixArray）$，$SAM（SuffixAutomaton）$等高级的算法解决，但是有很多地方它们就显得不够方便，常数、复杂度也不够优了。
接下来就介绍一些指针扫描算法，时间复杂度都是$O(n)$且常数非常小。

最小表示法

我们可以把字符串拷贝一遍用后缀数组在$O(nlogn)$（或$dc3$、$SAM$的$O(n)$）的复杂度内轻松解决这个问题，但是这样做法既不够简单，也不够快速，怎么办呢？
还是先把字符串拷贝一遍，然后考虑定义三个数值$i,j,k$，初始时$i=k=0,j=1$，接下来进行如下的操作：
1.若$s[i+k]==s[j+k]$，则$k++$；
2.若$s[i+k]<s[j+k]$，则$j+=k+1$，这是由于在$[j,j+k]$的区间中，任选一个作为开头都可以从$[i,i+k]$中选出一个更优的开头，再把$k$置为0.
3.若$s[i+k]>s[j+k]$，则$i+=k+1,k=0$，理由同上；
4.若$i==j$，则$j++$，因为两个开始指针相同了，随便把一个往右移一格就行。
最终当$i=n$或$j=n$或$k=n$时终止，答案是$min(i,j)$。
显然每个字符最多被扫过两遍，复杂度$O(n)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 200005;
char str[maxn];
int main(){
	scanf("%s", str);
	int n = strlen(str);
	for(int i = n; i < n + n; i++) str[i] = str[i - n];
	int i = 0, j = 1, k = 0;
	while(i < n && j < n && k < n){
		int t = str[i + k] - str[j + k];
		if(t != 0){
			if(t > 0) i += k + 1;
			else j += k + 1;
			if(i == j) ++j;
			k = 0;
		} else ++k;
	}
	i = min(i, j);
	for(j = i; j < i + n; j++) putchar(str[j]);
	return 0;
}

KMP算法

这是我们最熟悉的字符串匹配算法之一，复杂度$O(n+m)$。它通过计算每个位置上模式串匹配的最长前缀来解决，于是就有$next[i]$表示模式串长度为$i$的前缀最长$border$长度，一个$border$指的是一个字符串能够找到相同后缀的真前缀，比如abbab中ab就是它的$border$。
而我们可以证明，对于长度为$i+1$的前缀，如果$next[i]+1$不是其$border$，那么最长$border$不可能出现在$(next[next[i]]+1,next[i]]$，因为如果出现了，那么长度为$next[i]$的前缀的最长$border$便不是$next[next[i]]$了。同理，每次跳$next$的时候，最长$border$不可能出现在两次跳转的中间。并且，每次跳$next$至少使当前指针减少1，而指针最多增加$n$次，因此复杂度就是$O(n)$的。
匹配的时候也不断跳$next$数组即可，总复杂度为$O(n+m)$。
下面的代码能够在$O(n+m)$的时间内打印出所有$T$在$S$中能够匹配的位置（实测字符串长度1E6时O2下70ms不到）。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1000005;
char S[maxn], T[maxn];
int nxt[maxn];
int main(){
	scanf("%s%s", S, T);
	int n = strlen(S), m = strlen(T);
	nxt[0] = -1;
	for(int i = 1, j = 0; i < m; i++){
		while(j >= 0 && T[j] != T[i]) j = nxt[j];
		nxt[i + 1] = ++j;
	}
	for(int i = 0, j = 0; i < n; i++){
		while(j >= 0 && S[i] != T[j]) j = nxt[j];
		if(++j == m) printf("%d\n", i - j + 1);
	}
	return 0;
}

manacher算法

$manacher$算法能够在$O(n)$的时间内计算出每个位置（包括空隙）为中心的最长回文串长度。
先把整个字符串每个相邻位置之间都插入一个#，开头插入$，结尾插入@（就是三个不会在题目中出现的特殊字符），这样可以减少特判，并且把长度为偶数的回文串也变成了奇数的回文串。记$len[i]$表示以$i$为中心的最大回文串半径长度。
接下来从头开始扫字符串，令当前位置为$i$，再定义$id,r$分别表示当前右端点最大的回文串中心和右端点位置。
1.$i\le r$，那么很显然，中心为$i$的最长回文串长度至少是$\min (len[id\ast 2-i],r-i+1)$。否则初始值为1.
2.暴力开始往后推，更新$id,r$的值。
由于每个字符最多被扫过1遍，因此复杂度为$O(n)$。
下面这份代码可以输出字符串中的最长回文串长度（实测字符串长度1E7开O2下200ms不到）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 25000005;
char S[maxn], T[maxn];
int len[maxn];
int main(){
    fread(S, 1, maxn, stdin);
    int m = strlen(S), n = 0;
    T[n++] = '$';
    for(int i = 0; i < m; i++){
        T[n++] = '#';
        T[n++] = S[i];
    }
    T[n++] = '#';
    T[n++] = '@';
    len[0] = 1;
    int res = 0;
    for(int i = 1, id = 0, r = 0; i < n - 1; i++){
        if(r >= i) len[i] = min(r - i + 1, len[id * 2 - i]);
        else len[i] = 1;
        while(T[i + len[i]] == T[i - len[i]]) ++len[i];
        if(i + len[i] - 1 > r) r = i + len[i] - 1, id = i;
        int t = len[i] >> 1;
        res = max(res, i & 1 ? t << 1 : (t << 1) - 1);
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

Z-function算法

$Z-function$实质上也是一种字符串匹配算法，不同的是，$KMP$算法可以算出目标串每个位置之前能够匹配的模式串最长前缀，而$Z-function$可以计算出目标串每个位置之后能够匹配的模式串最长前缀。
$Z-function$实际上做了一件很简单的事情，就是对于一个字符串，考虑把它和它自己分别错位1格、2格……能够匹配的最长前缀。那么我们怎么去计算它呢？
考虑错位$k$格匹配的最长前缀为$len[k]$，当前扫描到$i$位置，再记录$id,r$表示当前最长匹配前缀延伸到的最右端点为$r$，是错位$id$格时产生的（跟$manacher$算法真的超级像……）。
1.$i\le r$，注意到$S[id...r]=S[0...r-id]$，则有$S[i...r]=S[i-id...r-id]$，也就是说$len[i]$的下界就是$\min (r-i+1,len[i-id]$。否则$len[i]=0$。
2.暴力往后推，更新$id,r$的值。
这个和$manacher$的复杂度是一模一样的，$O(n)$。那么接下来怎么用这个解决两个字符串的匹配问题呢？
我们可以把两个字符串接到一起，模式串在前，目标串在后，中间弄个$隔开，然后就做一遍上述过程，就可以知道了。
下述代码可以输出目标串每个位置上匹配模式串的最长前缀。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 2000005;
int len[maxn], n, m;
char S[maxn], T[maxn];
int main(){
	scanf("%s%s", S, T);
	n = strlen(S);
	m = strlen(T);
	T[m++] = '$';
	for(int i = 0; i < n; i++) T[m++] = S[i];
	for(int i = 1, id = 0, r = 0; i < m; i++){
		if(r >= i) len[i] = min(r - i + 1, len[i - id]);
		while(i + len[i] < m && T[len[i]] == T[i + len[i]]) ++len[i];
		if(i + len[i] - 1 > r) r = i + len[i] - 1, id = i;
	}
	for(int i = m - n; i < m; i++) printf("%d ", len[i]);
	return 0;
}