[LOJ6491] zrq 的 gcd

【题目地址】

题意简述

给定你$n,m$求：

$$\sum _{i_1=1}^m\sum _{i_2=1}^m\cdots \sum _{i_n=1}^{m}gcd(i_1,i_2,\cdots ,i_n)$$

对$2^{64}$取模，$n,m\le 10^{11}$

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这个题和CQOI2015选数很像，但是$10^{11}$显然要杜教筛，所以我们按照套路反演一波，枚举$gcd$，原式转化为：

$$\begin{gathered} \sum _{d=1}^{m}d\sum _{i_1=1}^m\sum _{i_2=1}^m\cdots \sum _{i_n=1}^m[gcd(i_1,i_2,\cdots ,i_n)=d] \\ \sum _{d=1}^{m}d\sum _{i_1=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\sum _{i_2=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\cdots \sum _{i_n=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }[gcd(i_1,i_2,\cdots ,i_n)=1] \end{gathered}$$

将$\mu$放入：

$$\begin{gathered} \sum _{d=1}^{m}d\sum _{i_1=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\sum _{i_2=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\cdots \sum _{i_n=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\sum _{w|i_1,w|i_2,\cdots ,w|i_n}\mu (w) \\ \sum _{d=1}^{m}d\sum _{w=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\mu (w){\lfloor \frac{m}{dw}\rfloor }^n \end{gathered}$$

根据套路，我们枚举$dw$，令$T=dw$得到：

$$\sum _{T=1}^m{\left(\lfloor \frac{m}{T}\rfloor \right)}^n\sum _{d|T}\mu (d)\frac{T}{d}$$

后面部分就是$\mu \ast id=\phi$，所以原式变为：

$$\sum _{T=1}^m{\left(\lfloor \frac{m}{T}\rfloor \right)}^n\phi (T)$$

所以杜教筛加快速幂即可，而模数十分特殊，所以直接用unsigned long long，但是对于$\frac{n\times (n+1)}{2}$我们不再用逆元，而是直接判奇偶除过去。

$$\sum _{i=1}^n\phi (i)=\sum _{i=1}^{n}i-\sum _{i=2}^n\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }\phi (j)$$

上代码：

#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll unsigned long long
using namespace std;
const int M=1e7+1;
ll n,m;
ll fpow(ll a,ll b){
	ll res=1llu;
	for(;b;b>>=1,a*=a)if(b&1)res*=a;
	return res;
}
ll prime[M],cnt,phi[M];
bool vis[M];
void init(){
	phi[1]=1llu;
	for(ll i=2;i<M;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1llu;
		}
		for(ll j=1,v;j<=cnt&&i*prime[j]<M;j++){
			v=i*prime[j];
			vis[v]=1;
			if(!(i%prime[j])){
				phi[v]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			phi[v]=phi[i]*phi[prime[j]];
		}
	}
	for(ll i=1;i<M;i++)phi[i]+=phi[i-1];
}
ll S(ll x){
	if(x&1) return (x+1)/2*x;
	else return x/2*(x+1);
}
map <ll,ll> mp;
ll calc(ll x){
	if(x<M) return phi[x];
	if(mp.count(x)) return mp[x];
	ll ans=S(x);
	for(ll i=2,j;i<=x;i=j+1){
		j=(x/(x/i));
		ans-=(j-i+1)*calc(x/i);
	}
	return mp[x]=ans;
}
ll solve(ll x,ll y){
	ll ans=0;
	for(ll i=1,j;i<=x;i=j+1){
		j=(x/(x/i));
		ans+=(calc(j)-calc(i-1))*fpow(x/i,y);
	}
	return ans;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	init();
	cout<<solve(m,n)<<endl;
	return 0;
}

---

End