LOJ #528. 「LibreOJ β Round #4」求和（莫比乌斯函数）

最新推荐文章于 2020-02-07 20:50:03 发布

overcastt

最新推荐文章于 2020-02-07 20:50:03 发布

阅读量700

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：莫比乌斯反演

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sunshiness_s/article/details/81363403

莫比乌斯反演专栏收录该内容

5 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一个计算μ²(gcd)的数学问题及其解法，通过使用莫比乌斯函数μ²(x)，当x不含平方因子时取值为1的特点，采用筛法预处理μ²值，并运用数论技巧进行高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

计算 $\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\mu^2(gcd(i,j))$ $(mod$ $998244353 )$

题解

$\sum\limits_{d=1}^n\mu^2(d)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum\limits_{j=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i,j)==1]$

$\mu^2(x)$ 也就是只有 $x$ 不含平方数时才得 $1$

因此，我们只要找到有多少 $gcd$ 为平方数的就可以啦

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 4000010
#define mod 998244353
#define ll long long
ll n,m,ans=0;
int tot,notprime[N],prime[N],mu[N];
inline void mobius(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=4000000;i++){
        if(!notprime[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;;
        for(int j=1;j<=tot && prime[j]*i<=4000000;j++){
            notprime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[prime[j]*i]=0;
                break;
            }mu[prime[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
}
int main(){
    freopen("b.in","r",stdin);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m);mobius();
    for(int i=1;(ll)i*i<=n;i++){
        ll j=(ll)i*i;if(!mu[i]) continue;
        ans=((ans+mu[i]*((n/j)%mod)%mod*((m/j)%mod)%mod)%mod+mod)%mod;
    }
    printf("%lld",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}