状压概率DP题目收集


Fighting Every Day!

DP习题收集

一大堆好题由简到难
其他人的收集

1. 状压DP

好文章: 1 2 3 4 入门

2. 期望DP

好文章: 1 2 3 4

3. 概率DP

  • 收集ing….
此博客内容均为转载,博主整理而已。
### 缩动态规划解决猛兽放置问题 缩动态规划( DP)是一种高效的算法设计方法,特别适用于棋盘类问题。以下是一个基于 C++ 的缩动态规划实现,用于解决 N×N 方阵中猛兽的放置问题。 #### 问题分析 - 每个猛兽会攻击自身周围八个格子,因此需要确保任意两只猛兽之间不能互相攻击。 - 使用缩表示每一行的猛兽放置情况,通过位运算快速判断冲突。 - 动态规划的态转移方程用于统计所有可行方案。 --- #### 算法设计 1. **态定义**: - 设 `dp[i][j]` 表示前 `i` 行已经放置猛兽,并且第 `i` 行的猛兽放置态为 `j` 的情况下,总的可行方案数[^1]。 - 态 `j` 是一个二进制数,其中每一位表示该列是否放置猛兽。 2. **态转移**: - 对于当前行 `i` 和态 `j`,枚举上一行的所有可能态 `k`,并检查两者是否冲突。 - 如果不冲突,则更新态转移方程:`dp[i][j] += dp[i-1][k]`[^1]。 3. **冲突检测**: - 使用位运算检测猛兽之间的冲突,包括同一列和对角线上的冲突。 - 如果两个态 `j` 和 `k` 在同一列或对角线上有重叠,则认为它们冲突。 4. **初始化**: - 当没有猛兽时,只有一种方案,即什么都不放,因此 `dp[0][0] = 1`。 5. **结果计算**: - 最终结果为所有放置了 `K` 只猛兽的态之和。 --- #### 实现代码 ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int countWays(int N, int K) { vector<int> validStates; // 存储所有合法的态 for (int i = 0; i < (1 << N); ++i) { if (__builtin_popcount(i) <= K) { // 确保态中的猛兽数量不超过 K validStates.push_back(i); } } // 动态规划数组 vector<vector<long long>> dp(N + 1, vector<long long>(1 << N, 0)); dp[0][0] = 1; // 初始态 for (int i = 1; i <= N; ++i) { for (auto j : validStates) { // 当前行态 if (__builtin_popcount(j) > K) continue; // 超过 K 只猛兽,跳过 for (auto k : validStates) { // 上一行态 if ((j & k) == 0 && // 不在同一列 (j & (k >> 1)) == 0 && // 不在左对角线 (j & (k << 1)) == 0) { // 不在右对角线 dp[i][j] += dp[i - 1][k]; } } } } long long result = 0; for (auto s : validStates) { if (__builtin_popcount(s) == K) { // 统计放置了 K 只猛兽的态 result += dp[N][s]; } } return result; } int main() { int N, K; cout << "请输入棋盘大小 N 和猛兽数量 K: "; cin >> N >> K; if (K > N * N) { cout << "无法放置超过 N*N 只猛兽!" << endl; return 0; } cout << "可行方案数: " << countWays(N, K) << endl; return 0; } ``` --- #### 算法说明 1. **态生成**: - 使用 `__builtin_popcount` 函数计算二进制态中 1 的个数,以确保每种态的猛兽数量不超过 `K`[^1]。 2. **冲突检测**: - 使用位运算 `(j & k)` 检测同一列冲突。 - 使用 `(j & (k >> 1))` 和 `(j & (k << 1))` 检测对角线冲突。 3. **时间复杂度**: - 态总数为 `2^N`,每次态转移需要枚举上一行的所有态,因此时间复杂度为 O((2^N)^2 * N)[^1]。 4. **空间复杂度**: - 动态规划数组占用 O(N * 2^N) 的空间。 --- ####
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包

打赏作者

VictoryCzt

你的鼓励将是我创作的最大动力

¥1 ¥2 ¥4 ¥6 ¥10 ¥20
扫码支付:¥1
获取中
扫码支付

您的余额不足,请更换扫码支付或充值

打赏作者

实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值