ACM概率期望dp刷题总结

这个周刷了很多概率期望有关的dp题目，缘起2016青岛D题和取log的神操作题HDU 5988 2016青岛区域赛 (最小费用流)

这类题目没有固定的模板，而且概率可以很容易插入一些经典模型，比如下面的 TSP。最小费用流。
我刷的这部分题目，无一例外均可用dp解决，主要是找到状态，很多题目都可以抽象成马尔科夫链

下面记录一下刷的经典题目

B - Discovering Gold

一排1到n的格子，每个格子上有黄金 $a_i$ ,你最开始在 $1$ 号,每一次投塞子决定到哪一个格子，不能超出范围，你到了哪个格子就得到哪个格子的金币，问最终在$n$ 能得到金币的期望

思路

在第$i$ 个格子能转移到 $i+j,i+j\le n，j\le 6$, 转移概率为能转移的格子数。,求出每个格子的概率，用概率乘上金币数目就是期望.

code

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define PI acos(-1)
#define fi first
#define se second
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INF64 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define ms(x,v) memset((x),(v),sizeof(x))
#define scint(x) scanf("%d",&x );
#define scf(x) scanf("%lf",&x );
#define eps 1e-10
#define dcmp(x) (fabs(x) < eps? 0:((x) <0?-1:1))
#define lc o<<1
#define rc o<<1|1
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double DB;
typedef pair<int,int> Pair;
const int maxn = 100+10;
const int MAX_V= 500+10;
const int MOD = 998244353;

double dp[maxn];
int a[maxn];
int main()
{
    // ios_base::sync_with_stdio(0);
    // cin.tie(0);
    // cout.tie(0);

    int T;
    cin>>T;
    int kase =0;
    while (T--) {
        int n;
        cin>>n;
        ms(dp,0);
        double ans =0;
        for(int i =1 ; i<=n ; ++i)cin>>a[i];
        dp[1] = 1;
        for(int i=1 ; i <= n ; ++i){
            int k = min(6,n-i);
            for(int j =1 ; j<=k ; ++j)dp[j+i]+= dp[i]/k;
        }
        for(int i=1 ; i<=n ; ++i){
            ans += dp[i]*a[i];
        }
        printf("Case %d: %.9lf\n",++kase, ans);
    }


    //std::cout << "time "<< clock()/1000 <<"ms"<< '\n';
    return 0;
}

Island of Survival

（感谢A_LeiQ）翻译
被拉去参加一个野外求生……姑且这么叫吧。
岛上有t只老虎（Ｔ）和d只熊（Ｄ）还有自己（Ｍ）。每天会有两只生物相遇（自己也算）
Ｔ－Ｍ　Ｔ会吃掉Ｍ
Ｔ－Ｄ　Ｔ会吃掉Ｄ
Ｄ－Ｄ　Ｎｏｔｈｉｎｇ
Ｍ－Ｄ　Ｍ可以选择杀与不杀Ｄ
Ｔ－Ｔ　两只Ｔ会互相残杀（Ｔｗｏ　Ｄｉｅ）

问最终人类可以存货的概率（人类存活是指老虎都死光）

思路

这个问题其实很简单，遇到deer 不杀就行了，简单的想就是，杀了熊以后，老虎遇到你的概率就更大了，
设 $dp[i][j$ 表示剩余 $i老虎，j\ deer$ 时存活概率,用以上情况简单递推就好

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define PI acos(-1)
#define fi first
#define se second
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INF64 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define