过河(状压dp典型题)

这道题最简单的dp,动态转移方程很好推,因为它是由i-s~t转移来的,所以
动态转移方程为dp[i]=min(dp[i-s~t])+q[i]
然而这个题的数据太大了。。。。。10^9
不得不考虑一些没用的操作
所以就考虑一个问题
这个题的石子数太少了,在一定的范围内,你不管怎样跳,石子数也不会增加,所以你就可以把多余的t弄掉,这样就是状压dp了,把一定的没用的范围压起来,这样数据就小点了,能过了

#include<cstdio>
#include<iostream> 
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;int maxn=9999;
int f[3000];int a[101];int q[3000];int d[101];
int ans=0;int l,s,t;
int main()
{
     scanf("%d",&l);
     scanf("%d%d%d",&s,&t,&m);

     for(int i=1;i<=m;i++){
         scanf("%d",&a[i]);
     }
     sort(a+1,a+m+1);
     for(int i=1;i<=m;i++)
     if(a[i]-a[i-1]>t)
     d[i]=(a[i]-a[i-1])%t+t;
     else d[i]=a[i]-a[i-1];
     for(int i=1;i<=m;i++)
     {
         a[i]=a[i-1]+d[i];
         q[a[i]]=1;
     }
     for(int i=1;i<s;i++)
     f[i]=99999999;
     f[0]=0;
     for(int i=s;i<=a[m]+t;i++)
         {int w=99999;
             for(int j=s;j<=t;j++)
             {
             if(i-j>=0)
             w=min(f[i-j],w);
             }
             f[i]=w+q[i];
         }
 for(int i=a[m];i<=a[m]+t;i++)
 maxn=min(maxn,f[i]);
 printf("%d ",maxn); 
 return 0;
}
### 动态规划与贪心算法在士兵过河中的应用 士兵过河是经典的优化问之一,其目标是在有限资源(如船只容量和时间)的情况下最大化生存人数或最小化总耗时。该问可以通过动态规划和贪心算法两种方法求解。 #### 使用动态规划解决问 动态规划的核心在于将大问分解为多个相互关联的小问,并通过存储中间结果避免重复计算。对于士兵过河,可以定义态 `dp[k][t]` 表示前 `k` 名士兵在时间不超过 `t` 的情况下能够成功过河的最大数量[^1]。转移方程如下: - 如果第 `i` 名士兵独自乘船,则有: \[ dp[k][t] = max(dp[k][t], dp[k-1][t-a_i]) \] - 如果两名士兵共同乘船,则需考虑两人的时间最大值作为实际消耗时间: \[ dp[k][t] = max(dp[k][t], dp[k-2][t-max(a_x, a_y)]) \] 最终答案可通过遍历所有可能的时间范围得出,在满足条件下的最大士兵数即为最优解。 ```python def dynamic_programming_cross_river(times, boat_capacity): n = len(times) times.sort() # 初始化 DP 数组 max_time = sum(times) * 2 # 上限估计 dp = [[0]*(max_time+1) for _ in range(n+1)] for k in range(1, n+1): # 遍历每名士兵 for t in range(max_time, -1, -1): # 时间倒序更新防止依赖未来态 if t >= times[k-1]: dp[k][t] = max(dp[k][t], dp[k-1][t-times[k-1]] + 1) # 处理双人情况 (仅当船可容纳至少两人时有效) if boat_capacity >= 2 and k >= 2: pair_time = max(times[k-1], times[k-2]) # 双人过河取较慢者的速度 if t >= pair_time: dp[k][t] = max(dp[k][t], dp[k-2][t-pair_time] + 2) result = 0 for t in range(max_time+1): result = max(result, dp[n][t]) return result ``` #### 使用贪心算法解决问 贪心算法基于局部最优选择构建全局解决方案。具体到士兵过河中,通常采用以下策略[^3]: 1. **排序**:按照每位士兵单独过河所需时间升序排列; 2. **匹配原则**:优先安排最快的人返回接应其他人员,或者尝试配对最慢与次慢的组合以减少往返次数; 3. **迭代执行**直至所有人都已安全抵达彼岸为止。 这种方法简单高效但在某些特殊情形下可能会失去全局最优性,因此适用前提是必须验证是否存在反例破坏无后效性和整体一致性约束条件[^4]。 ```python def greedy_algorithm_cross_river(times, boat_capacity): times.sort() # 升序排序 left, right = 0, len(times)-1 trips = 0 while left <= right: if left != right and times[left] + times[right] <= boat_capacity*times[-1]: # 尝试携带两个士兵一起走 trips += 1 left += 1 right -= 1 else: # 否则单个运输较快者先行返航接送其他人 trips += 1 right -= 1 return trips ``` 以上两种方式各有千秋,视具体情况选用更为合适的算法实现更佳效果。
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