【战术鸡蛋控制】2-2 欧拉方程详解

第2章 第2节 弹体作为刚体运动的欧拉方程

本节定位：全书动力学建模的根基。将导弹抽象为空间运动的刚体，建立六自由度微分方程组，并通过坐标系转换与合理简化，得到后续控制系统设计可直接使用的线性化模型。

---

一、本节知识图谱

本节只做三件事：定义坐标系与变量 → 写出六自由度方程 → 针对工程需求做合理简化。所有后续的气动力导数、动力系数、弹体传递函数，全部建立在本节简化后的方程之上。

---

二、六自由度模型总体架构

作为刚体的导弹在空间运动，其完整的六自由度模型包含六个动力学方程与六个运动学方程。

动力学方程描述状态量的变化率受外力与外力矩的驱动：

• 三个质心平动方程：描述速度 $V$ 及其方向的变化；
• 三个绕质心转动方程：描述角速度 ${\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z$ 的变化。

运动学方程描述位置与姿态的积分关系：

• 三个质心位置方程：速度积分得到位置 $x,y,z$；
• 三个姿态欧拉角方程：角速度积分得到俯仰角 $\vartheta$、偏航角 $\psi$、滚转角 $\gamma$。

---

三、四大坐标系与转换关系

研究导弹制导与控制问题涉及四个坐标系，其定义与区别是后续所有推导的前提：

地面坐标系 $Oxyz$：原点固定于地面某参考点，作为惯性参考基准。所有绝对位置与轨迹均在此系中描述。

弹体坐标系 $O{x}_b{y}_b{z}_b$：原点位于弹体质心，$x_b$ 轴沿弹体纵轴指向前方，$y_b$ 位于弹体对称面内指向上方，$z_b$ 按右手定则确定。该系与弹体固连，用于描述弹体所受气动力与力矩。

弹道坐标系 $O{x}_t{y}_t{z}_t$：原点位于质心，$x_t$ 轴与速度矢量重合，$y_t$ 轴位于铅垂面内，$z_t$ 按右手定则确定。该系用于描述质心运动的轨迹特性。

速度坐标系 $O{x}_V{y}_V{z}_V$：原点位于质心，$x_V$ 轴与速度矢量重合，$y_V$ 轴位于弹体纵向对称面内，$z_V$ 按右手定则确定。后两个坐标系的 $x$ 轴均与速度矢量重合，但 $y$ 轴指向不同，这是弹道系与速度系的本质区别。

---

四、坐标转换矩阵

四个坐标系之间的相互转换通过一系列基本旋转完成。掌握绕 $x,y,z$ 三个轴旋转的基本转换矩阵是推导投影关系的基础。

绕 $x$ 轴旋转 ${\phi }_x$ 角的旋转矩阵：
$$L_x({\phi }_x)=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 00& \cos {\phi }_x& \sin {\phi }_{x}0& -\sin {\phi }_x& \cos {\phi }_x\end{array}\right]$$

绕 $y$ 轴旋转 ${\phi }_y$ 角的旋转矩阵：
$$L_y({\phi }_y)=\left[\begin{array}{ccccccc}\cos {\phi }_y& 0& -\sin {\phi }_{y}0& 1& 0\sin {\phi }_y& 0& \cos {\phi }_y\end{array}\right]$$

绕 $z$ 轴旋转 ${\phi }_z$ 角的旋转矩阵：
$$L_z({\phi }_z)=\left[\begin{array}{ccccccc}\cos {\phi }_z& \sin {\phi }_z& 0-\sin {\phi }_z& \cos {\phi }_z& 00& 0& 1\end{array}\right]$$

从地面坐标系到弹体坐标系的转换，依次经过偏航、俯仰、滚转三次旋转；从弹体坐标系到速度坐标系的转换，则通过攻角与侧滑角的负向旋转实现。所有力与力矩在不同坐标系中的投影均可由上述矩阵的连乘得到。

---

五、力与力矩的投影关系

弹体所受的总外力由三部分组成：空气动力 $\mathbf{R}$、推力 $\mathbf{P}$ 与重力 $\mathbf{G}$。空气动力与气动力矩在弹体坐标系中描述最为自然，推力通常沿弹体纵轴方向，重力则沿地面坐标系的铅垂方向向下。

空气动力在弹体坐标系中表示为
$$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{c}{X}_b{Y}_b{Z}_b\end{array}\right]$$

推力在弹体坐标系中表示为
$$\mathbf{P}=\left[\begin{array}{c}P00\end{array}\right]$$

重力在地面坐标系中表示为
$$\mathbf{G}=\left[\begin{array}{c}0-G0\end{array}\right]$$

气动力矩在弹体坐标系中表示为
$$\mathbf{M}=\left[\begin{array}{c}{M}_x{M}_y{M}_z\end{array}\right]$$

将地面系中的重力投影到弹体系，或将弹体系中的气动力投影到弹道系，均需通过前述旋转矩阵完成。这些投影关系构成了六自由度方程右端项的基础。

---

六、完整六自由度方程组

六自由度模型可以在弹道坐标系或弹体坐标系上建立。两种形式的状态量选取不同，但物理本质完全一致。

6.1 弹道坐标系形式

当六自由度模型在弹道坐标系上给出时，动力学三个平动方程的状态量取为速度 $V$、弹道倾角 $\theta$、弹道偏角 ${\psi }_V$；动力学三个转动方程的状态量取为角速度 ${\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z$（在弹体坐标系中）。运动学六个方程的状态量分别取为位置分量 $x,y,z$（地面系）和欧拉角 $\vartheta ,\psi ,\gamma$（弹体系）。

弹道坐标系下的平动动力学方程为
$$m\dot{V}=F_{x_t}$$
$$mV\dot{\theta }=F_{y_t}$$
$$-mV\cos \theta {\dot{\psi }}_V=F_{z_t}$$

式中 $F_{x_t},F_{y_t},F_{z_t}$ 为合外力在弹道坐标系中的投影。这三个方程分别描述速度大小的变化、弹道在铅垂面内的弯曲、以及弹道在水平面内的弯曲。

6.2 弹体坐标系形式

当六自由度模型在弹体坐标系上给出时，动力学三个平动方程的状态量改为速度分量 $V_{x_b},V_{y_b},V_{z_b}$，其余状态量仍延续弹道系的选取。

弹体坐标系下的平动动力学方程为
$$m({\dot{V}}_{x_b}+V_{z_b}{\omega }_y-V_{y_b}{\omega }_z)=F_{x_b}$$
$$m({\dot{V}}_{y_b}+V_{x_b}{\omega }_z-V_{z_b}{\omega }_x)=F_{y_b}$$
$$m({\dot{V}}_{z_b}+V_{y_b}{\omega }_x-V_{x_b}{\omega }_y)=F_{z_b}$$

式中左端括号内的交叉项为哥氏加速度，由弹体坐标系相对惯性系的旋转引起。这些交叉项使得方程呈现明显的非线性耦合特征。

转动动力学方程在两种坐标系下形式相同，均为欧拉方程：
$$J_x{\dot{\omega }}_x-(J_y-J_z){\omega }_y{\omega }_z-J_{yz}({\omega }_y^2-{\omega }_z^2)-J_{zx}({\dot{\omega }}_z+{\omega }_x{\omega }_y)-J_{xy}({\dot{\omega }}_y-{\omega }_x{\omega }_z)=M_x$$
$$J_y{\dot{\omega }}_y-(J_z-J_x){\omega }_z{\omega }_x-J_{zx}({\omega }_z^2-{\omega }_x^2)-J_{xy}({\dot{\omega }}_x+{\omega }_y{\omega }_z)-J_{yz}({\dot{\omega }}_z-{\omega }_y{\omega }_x)=M_y$$
$$J_z{\dot{\omega }}_z-(J_x-J_y){\omega }_x{\omega }_y-J_{xy}({\omega }_x^2-{\omega }_y^2)-J_{yz}({\dot{\omega }}_y+{\omega }_z{\omega }_x)-J_{zx}({\dot{\omega }}_x-{\omega }_z{\omega }_y)=M_z$$

式中 $J_x,J_y,J_z$ 为绕各轴的转动惯量，$J_{xy},J_{yz},J_{zx}$ 为惯性积。对于轴对称弹体，交叉惯性积 $J_{xy},J_{yz},J_{zx}$ 为零。

---

七、方程简化路径

上述六自由度方程组完整但过于复杂，直接用于控制系统设计既不现实也无必要。本节通过三条物理假设进行合理简化。

假设一：轴对称弹体。对于气动外形轴对称的导弹，交叉惯性积 $J_{xy},J_{yz},J_{zx}$ 可以略去。这使得转动方程中的耦合项大幅减少。

假设二：三通道控制角速度为小量。对于一般采取三通道控制的导弹，角速度 ${\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z$ 本身很小，因此其乘积项 ${\omega }_x{\omega }_y,{\omega }_y{\omega }_z,{\omega }_z{\omega }_x$ 以及平方项 ${\omega }_x^2,{\omega }_y^2,{\omega }_z^2$ 均可忽略。这消去了转动方程中的大量非线性项。

假设三：速度分量 $V_{y_b},V_{z_b}$ 为小量。由于速度矢量主要沿弹体纵轴方向，侧向速度分量 $V_{y_b},V_{z_b}$ 远小于轴向速度 $V_{x_b}$，因此它们与角速度的乘积项也可略去。这消去了平动方程中的哥氏加速度交叉项。

---

八、简化后的动力学方程

在上述三条假设下，弹体坐标系中的动力学方程简化为极为简洁的形式。

弹体系平动方程：
$$m{\dot{V}}_{x_b}=F_{x_b}$$
$$m({\dot{V}}_{y_b}+V_{x_b}{\omega }_z)=F_{y_b}$$
$$m({\dot{V}}_{z_b}-V_{x_b}{\omega }_y)=F_{z_b}$$

第一式描述轴向速度的变化，由轴向合力决定；后两式描述侧向速度的变化，保留了与轴向速度和角速度的耦合项，这是侧向机动的基础。

弹体系转动方程：
$$J_x{\dot{\omega }}_x=M_x$$
$$J_y{\dot{\omega }}_y=M_y$$
$$J_z{\dot{\omega }}_z=M_z$$

三轴转动完全解耦，每一轴的角加速度仅由该轴的力矩与转动惯量决定。这一解耦形式是后续三通道独立设计控制系统的根本依据。

弹道坐标系平动方程：
$$m\dot{V}=F_{x_t}$$
$$mV\dot{\theta }=F_{y_t}$$
$$mV\cos \theta {\dot{\psi }}_V=-F_{z_t}$$

这三式分别对应速度大小的变化率、弹道倾角的变化率、弹道偏角的变化率。在控制系统设计中，法向过载与弹道倾角角速度直接相关，因此第二式具有特别重要的工程意义。

---

九、本节核心结论

本节从刚体假设出发，建立了导弹六自由度运动方程，并通过坐标转换矩阵实现了不同坐标系下力与力矩的投影。关键简化基于三条物理事实：轴对称使惯积为零，小角速度使非线性乘积项可略，小侧向速度使哥氏耦合项可略。

简化后的核心结果是：三轴转动完全解耦。滚转、偏航、俯仰三个通道的动力学方程相互独立，每一通道均可单独建立二阶或一阶传递函数。这一解耦特性使得后续第2.5节的弹体传递函数推导、以及第4章的三通道独立驾驶仪设计，在数学上严格成立。

衔接下节：第2.3节将规定控制面的偏转角正方向，第2.4节将基于本节简化的平动与转动方程，对气动力与力矩进行线性化，得到气动力导数与动力系数，最终在第2.5节汇聚为工程上可直接使用的弹体传递函数。