【雷达原理学习笔记卫青老师】55.P55 雷达作用距离（十二）

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原创最新推荐文章于 2026-11-10 10:09:26 发布 463 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

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55.P55 雷达作用距离（十二）

第五章第七节：雷达方程的几种形式

本节主要探讨第五章第七小节的内容：雷达方程的几种形式。在5.7小节之前，我们探讨的雷达方程主要是基于基本形式，即最大作用距离与各项参数的四次方根成正比的形式。在此基础上，我们分析了导致雷达方程发生变化的各种因素，例如脉冲积累、目标起伏以及大气环境对雷达性能的各种影响。而在5.7小节中，我们将重点研究与传统雷达方程在形式上存在差异的其他类型雷达方程。

一、二次雷达方程

首先探讨第一个问题：二次雷达方程。顾名思义，二次雷达方程的最大作用距离不再与参数的四次方根成正比，而是与二次方根成正比。

以下详细解析二次雷达方程的物理过程。在常规雷达系统中，雷达发射电磁波照射到目标后，目标本身具有雷达截面积 $\sigma$ ，会对入射电磁波产生散射。散射回波随后再被雷达接收。这意味着信号的收发均在同一位置完成，电磁波在空间中经历了一个双程的往返传播过程。

而二次雷达的工作过程则截然不同，它主要分为两个独立的部分。在二次雷达系统中，目标上会装配一个应答器（Transponder）。应答器的核心功能在于接收雷达发送的询问信号，并主动发射回答信号。这意味着应答器本身必须具备一套完整的接收装置和发射装置，包括接收天线和发射天线。为了便于理解，我们可以将装配在目标上的应答器视为一个微型雷达。传统雷达是接收自身发射并经目标反射的电磁波；而二次雷达系统则是应答器接收雷达发射的信号，随后应答器主动发射新信号，最终由雷达接收。

基于上述原理，二次雷达的工作过程可拆解为两个单向步骤：

雷达发射信号，应答器接收信号。
应答器发射信号，雷达接收信号。

由于存在两个独立的信号传输过程，系统中必然存在两个最大作用距离。第一个是雷达发射至应答器接收的最大有效距离，第二个是应答器发射至雷达接收的最大有效距离。在评估二次雷达系统的实际最大作用距离时，必须取这两个最大作用距离中的最小值，因为只有在此最小距离范围内，两个通信过程才能同时得到满足和完成。

为了建立数学模型，我们假设最理想的情况：雷达的天线方向图主瓣严格对准应答器，同时应答器的天线方向图主瓣也严格对准雷达，实现两者的互指。在此基础上，我们定义相关参数：

雷达参数： 发射功率 $P_t$ ，发射天线增益 $G_t$ ，接收天线增益 $G_r$ （若收发共用同一天线，则 $G_t = G_r$ ）。
应答器参数（以下标带有撇号表示）： 发射功率 $P_t'$ ，发射天线增益 $G_t'$ ，接收天线增益 $G_r'$ 。

1. 雷达发射信号，应答器接收的过程推导

这一过程与推导传统雷达方程的第一步类似，均为单向传播。核心区别在于，该过程无需考虑目标的雷达截面积 $\sigma$ 及其产生的二次辐射。这是一个纯粹的单向传输过程。

设应答器接收到的有效信号功率为 $P_r'$ ，信号由雷达发射而来。雷达发射的信号到达距离 $R_1$ 处应答器时的入射功率密度为：

$\text{power density} = \frac{P_t G_t}{4\pi R_1^2}$

与常规雷达方程在此处乘以 $\sigma$ 不同，对于二次雷达，我们直接将该功率密度乘以应答器接收天线的有效接收面积 $A_r'$ 。因此，应答器接收到的功率为：

$P_r' = \frac{P_t G_t}{4\pi R_1^2} A_r'$

利用接收天线有效面积与增益的关系

$A_r' = \frac{G_r' \lambda^2}{4\pi}$

，代入上式可得：

$P_r' = \frac{P_t G_t G_r' \lambda^2}{(4\pi)^2 R_1^2}$

我们关注的是距离 $R_1$ 取最大值时的条件。当且仅当应答器接收到的功率 $P_r'$ 降至其接收机的最小可检测信号功率（即灵敏度 $S_{min}'$ ）时， $R_1$ 达到最大值。将 $P_r' = S_{min}'$ 代入上式，即可得到雷达至应答器链路的最大作用距离方程，此时方程与二次方根成正比：

$R_{1max} = \sqrt{\frac{P_t G_t G_r' \lambda^2}{(4\pi)^2 S_{min}'}}$

如果在已知天线有效面积的情况下，我们可以将 $G_t$ 和 $G_r'$ 替换为雷达发射天线面积 $A_t$ 和应答器接收天线面积 $A_r'$ 。替换后的公式如下（注意在此形式下， $\lambda^2$ 位于分母且无 $4\pi$ 常数项）：

$R_{1max} = \sqrt{\frac{P_t A_t A_r'}{\lambda^2 S_{min}'}}$

2. 应答器发射信号，雷达接收的过程推导

第二个过程的推导思路与第一个过程完全一致。此时相当于通信的收发主体发生了互换。在数学表达上，只需将公式中原属于应答器的参数（带撇号）与属于雷达的参数（无撇号）进行对调即可。

设雷达接收机的灵敏度为 $S_{min}$，则应答器至雷达链路的最大作用距离 $R_{2max}$ 为：

$R_{2max} = \sqrt{\frac{P_t' G_t' G_r \lambda^2}{(4\pi)^2 S_{min}}}$

同样地，采用天线有效面积表示的形式为：

$R_{2max} = \sqrt{\frac{P_t' A_t' A_r}{\lambda^2 S_{min}}}$

系统的最终二次雷达最大作用距离是上述两个单向距离 $R_{1max}$ 和 $R_{2max}$ 的最小值。在实际工程设计中，为了避免系统资源的浪费，通常会尽量优化参数，使这两个单向最大作用距离近似相等。如果两者差异过大，取最小值会导致性能更优一端的功率或灵敏度冗余被白白浪费。

关于二次雷达的作战态势，部分学生可能会产生雷达与目标始终处于非合作（敌对）状态的刻板印象。实际上，二次雷达方程主要应用于合作型目标（即“友方”目标）。合作目标的主观意愿是希望被雷达发现并建立联系，因此才会配备应答器主动回复信号。

这种互相配合的工作机制带来了显著的性能提升。对比基本雷达方程（开四次方根），二次雷达方程由于去除了目标散射造成的二次路径损耗，其最大作用距离与参数的二次方根成正比。在同等发射功率和天线增益条件下，开二次方的方程能提供远大于开四次方的作用距离，从而使目标更容易被远距离探测到。民航客机是这一应用最典型的代表。客机极其依赖雷达的实时监控，一旦客机从雷达屏幕上消失，通常意味着发生了严重的紧急状况。

关于课后作业5-4题。该题的第一问应用的是基本的四次方根雷达方程，而第二问考察的正是二次雷达方程。在分析该题的参数时需要注意，由于应答器需要搭载在目标平台（如飞机）上，受到严格的体积、重量以及制造工艺的限制。因此，应答器的各项硬件指标（无论是发射功率 $P_t'$ 、天线增益 $G_t'$ 、天线有效面积 $A_r'$ 还是接收机灵敏度 $S_{min}'$ ）通常都远逊于地面雷达。地面雷达受到的物理空间限制较小，能够做到极高的工艺指标。

在对比接收机灵敏度时，必须明确一个关键概念：灵敏度性能越“差”，意味着其数值越大；灵敏度性能越“好”，其数值越小。理想状态下，最小可检测信号功率无限趋近于零（尽管工程上不可能实现绝对零值）。因此，当应答器的接收机性能劣于雷达接收机时，应答器的最小可检测功率 $S_{min}'$ 的数值实际上是大于雷达的最小可检测功率 $S_{min}$ 的。