Newcoder 147 E.Music Game（dp+组合数学）

Description

$n$个数字，第$i$个数字以$\frac{p_i}{100}$的概率取$1$，否则取$0$，假设有一段连续$1$的长度为$x$（两端没有其他$1$)，那么对分数贡献为$x^m$，求分数期望

Input

首先输入两个整数$n,m$，之后输入$n$个整数$p_i$

$(1\le n,m\le 1000,0\le p_i\le 100)$

Output

输出分数期望，结果模$10^9+7$

Sample Input

3 4
50 50 50

Sample Output

750000020

Solution1

枚举连续$1$的区间$[l,r]$，该区间对答案的贡献即为$(1-p_{l-1})(1-p_{r+1})\prod _{i=l}^r{p}_i(r-l+1{)}^m$，时间复杂度$O(n^2)$

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 262144+5
#define mod 1000000007
int inv[101];
int mul(int x,int y)
{
	ll z=1ll*x*y;
	return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=mod)x-=mod;
	return x;
}
void init(int n=100)
{
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
}
int Pow(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int n,m,p[maxn],a[maxn];
int main()
{
	init();
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&p[i]);
		p[i]=mul(p[i],inv[100]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=Pow(i,m);
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int res=1;
		for(int j=i;j<=n;j++)
		{
			res=mul(res,p[j]);
			ans=add(ans,mul(mul(res,mul(add(1,mod-p[i-1]),add(1,mod-p[j+1]))),a[j-i+1]));
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

Solution2

由于$n^k=\sum _{i=1}^{n}S(k,i)\cdot i!\cdot C_n^i$，其中$S(k,i)$为第二类斯特林数，以$dp[i][j]$表示$\sum _{x=1}^{n}num[i][j]\cdot C_x^j$，其中$num[i][j]$表示以$i$结尾出现连续$j$个$1$的概率，由于$C_x^j=C_{x-1}^j+C_{x-1}^{j-1}$，故有转移
$$dp[i][0]=1,dp[i][j]=(dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j])\cdot p[i],j\ge 1$$
答案即为$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}S(n,j)\cdot j!\cdot dp[i][j]\cdot p[i+1]$，时间复杂度$O(n^2)$

Code2

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 1005
#define mod 1000000007
int n,m,p[maxn],S[maxn][maxn],fact[maxn],inv,dp[maxn][maxn];
int mul(int x,int y)
{
	ll z=1ll*x*y;
	return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=mod)x-=mod;
	return x;
}
int Pow(int x,int y)
{
	int ans=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)ans=mul(ans,x);
		x=mul(x,x);
		y>>=1;
	}
	return ans;
}
void init(int n=1000)
{
	S[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		S[i][i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++)
			S[i][j]=add(S[i-1][j-1],mul(S[i-1][j],j));
	}
	fact[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=mul(i,fact[i-1]);
}
int main()
{
	init();
	inv=Pow(100,mod-2);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&p[i]);
		p[i]=mul(p[i],inv);
	}
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dp[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			dp[i][j]=mul(add(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]),p[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			dp[i][j]=mul(dp[i][j],add(1,mod-p[i+1]));
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			ans=add(ans,mul(mul(S[m][j],fact[j]),dp[i][j]));
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}