Newcoder 141 D.Encrypted String Matching（FFT）_dencrypted string matching-优快云博客

Description

给出两个只由小写字母组成的字符串 $S,T$ 以及一个小写字母的排列，这两个字符串是以这个排列为密钥加密后的密文，依旧记两个字符串的原文为 $S,T$ ，对 $T$ 的一个长度为 $|S|$ 的子串，只要这两个字符串每个位置的字母差值不超过 $1$ 则视为两个字符串匹配，问 $T$ 有多少子串与 $S$ 匹配，输出这些子串在 $T$ 中的起始位置

Input

输入两个只由小写字母组成的字符串 $S,T$ ，之后输入一个小写字母的排列

$(1\le |S|\le |T|\le 250000)$

Output

输出 $T$ 与 $S$ 匹配的子串数量以及这些子串在 $T$ 中的起始位置

Sample Input

any
amyisaboy
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

Sample Output

2
1 7

Solution

首先将 $S$ 和 $T$ 解密，假设 $S,T$ 串长分别为 $n,m$ ，那么问题转化为求 $T$ 的一个长度为 $n$ 的子串使得该子串与 $S$ 的对应位置差值绝对值不超过 $1$ ，假设该子串为 $T_i,...,T_{i+n-1}$ ，那么只要 $\sum\limits_{j=0}^{n-1}(S_j-T_{i+j})^2((S_j-T_{i+j})^2-1)=0$ 则该子串合法，将该多项式拆开转化为

$\sum\limits_{j=0}^{n-1}(S_j^4+T_{i+j}^4-S_j^2-T_{i+j}^2-4S_j^3T_{i+j}-4S_jT_{i+j}^3+6S_j^2T_{i+j}^2-2S_jT_{i+j})=0,0\le i\le m-n$

假设 $\tilde T$ 为 $T$ 的反串，那么 $\sum\limits_{j=0}^{n-1}S_jT_{i+j}=\sum\limits_{j=0}^{n-1}S_j\tilde T_{m-1-i-j}=[x^{m-1-i}]S\odot \tilde T$ ，其中 $S\odot \tilde T$ 表示 $S$ 和 $\tilde T$ 的卷积

故只要用 $FFT$ 做四遍卷积得到上述表达式的值统计 $0$ 的个数即为答案，时间复杂度 $O((n+m)log(n+m))$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
#define y1 yyy1
typedef long long ll;
#define maxn 250005
#define maxfft 524288+5
const double pi=acos(-1.0);
struct cp
{
    double a,b;
    cp operator +(const cp &o)const {return (cp){a+o.a,b+o.b};}
    cp operator -(const cp &o)const {return (cp){a-o.a,b-o.b};}
    cp operator *(const cp &o)const {return (cp){a*o.a-b*o.b,b*o.a+a*o.b};}
    cp operator *(const double &o)const {return (cp){a*o,b*o};}
    cp operator !() const{return (cp){a,-b};}
}w[maxfft];
int pos[maxfft];
void fft_init(int len)
{
    int j=0;
    while((1<<j)<len)j++;
    j--;
    for(int i=0;i<len;i++)
        pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<j);
}
void fft(cp *x,int len,int sta)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(i<pos[i])swap(x[i],x[pos[i]]);
    w[0]=(cp){1,0};
    for(unsigned i=2;i<=len;i<<=1)
    {
        cp g=(cp){cos(2*pi/i),sin(2*pi/i)*sta};
        for(int j=i>>1;j>=0;j-=2)w[j]=w[j>>1];
        for(int j=1;j<i>>1;j+=2)w[j]=w[j-1]*g;
        for(int j=0;j<len;j+=i)
        {
            cp *a=x+j,*b=a+(i>>1);
            for(int l=0;l<i>>1;l++)
            {
                cp o=b[l]*w[l];
                b[l]=a[l]-o;
                a[l]=a[l]+o;
            }
        }
    }
    if(sta==-1)for(int i=0;i<len;i++)x[i].a/=len,x[i].b/=len;
}
cp x[maxfft],y[maxfft],z[maxfft];
void FFT(int *a,int *b,int n,int m,ll *c)
{
    int len=1;
    while(len<(n+m+1)>>1)len<<=1;
    fft_init(len);
    for(int i=n/2;i<len;i++)x[i].a=x[i].b=0;
    for(int i=m/2;i<len;i++)y[i].a=y[i].b=0;
    for(int i=0;i<n;i++)(i&1?x[i>>1].b:x[i>>1].a)=a[i];
    for(int i=0;i<m;i++)(i&1?y[i>>1].b:y[i>>1].a)=b[i];
    fft(x,len,1),fft(y,len,1);
    for(int i=0;i<len/2;i++)
    {
        int j=len-1&len-i;
        z[i]=x[i]*y[i]-(x[i]-!x[j])*(y[i]-!y[j])*(w[i]+(cp){1,0})*0.25;
    }
    for(int i=len/2;i<len;i++)
    {
        int j=len-1&len-i;
        z[i]=x[i]*y[i]-(x[i]-!x[j])*(y[i]-!y[j])*((cp){1,0}-w[i^len>>1])*0.25;
    }
    fft(z,len,-1);
    for(int i=0;i<n+m;i++)
        if(i&1)c[i]=(ll)(z[i>>1].b+0.5);
        else c[i]=(ll)(z[i>>1].a+0.5);
}
char S[maxn],T[maxn],P[30];
int x1[maxn],x2[maxn],x3[maxn];
int y1[maxn],y2[maxn],y3[maxn];
ll X2,X4,s2[maxn],s4[maxn],temp[2*maxn],ans[maxn];
int main()
{
    scanf("%s%s%s",S,T,P);
    int n=strlen(S),m=strlen(T);
    X2=X4=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        x1[i]=P[S[i]-'a']-'a';
        x2[i]=x1[i]*x1[i];
        x3[i]=x1[i]*x2[i];
        X2+=x2[i],X4+=x2[i]*x2[i];
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        y1[i]=P[T[i]-'a']-'a';
        y2[i]=y1[i]*y1[i];
        y3[i]=y1[i]*y2[i];
        s2[i]=i?s2[i-1]+y2[i]:y2[i];
        s4[i]=i?s4[i-1]+y2[i]*y2[i]:y2[i]*y2[i];
    }
    for(int i=0;i<=m-n;i++)
    {
        ans[i]=X4-X2;
        ans[i]+=(s4[i+n-1]-(i?s4[i-1]:0));
        ans[i]-=(s2[i+n-1]-(i?s2[i-1]:0));
    }
    reverse(y1,y1+m),reverse(y2,y2+m),reverse(y3,y3+m);
    FFT(x3,y1,m,m,temp);
    for(int i=0;i<=m-n;i++)ans[i]-=4ll*temp[m-1-i];
    FFT(x1,y3,m,m,temp);
    for(int i=0;i<=m-n;i++)ans[i]-=4ll*temp[m-1-i];
    FFT(x2,y2,m,m,temp);
    for(int i=0;i<=m-n;i++)ans[i]+=6ll*temp[m-1-i];
    FFT(x1,y1,m,m,temp);
    for(int i=0;i<=m-n;i++)ans[i]+=2ll*temp[m-1-i];
    vector<int>v;
    for(int i=0;i<=m-n;i++)
        if(!ans[i])v.push_back(i+1);
    printf("%d\n",v.size());
    for(int i=0;i<v.size();i++)
        printf("%d%c",v[i],i==v.size()-1?'\n':' ');
    return 0;
}