HDU 6305 RMQ Similar Sequence（概率+单调栈）

最新推荐文章于 2019-07-19 10:33:17 发布

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本文介绍了一种解决RMQ-Similar问题的方法，通过分析序列A与随机序列B之间的关系，利用排列组合原理和概率论，计算出满足特定条件的序列B的元素和的期望值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

对于一个序列 $A=\{a_1,...,a_n\}$ ，记 $RMQ(A,l,r)$ 表示最小的 $i$ 使得 $a_i$ 是 $a_l,...,a_r$ 中的最大值，给出序列 $A$ ，而序列 $B=\{b_1,...,b_n\}$ 每个元素独立的从 $[0,1]$ 中等概率随机取值，问使得 $RMQ(A,l,r)=RMQ(B,l,r),\forall 1\le l\le r\le n$ 的序列 $B$ 的元素和的期望值

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入一整数 $n$ 表示序列长度，之后输入 $n$ 个整数 $a_i$ 表示 $A$ 序列

$(1\le n\le 10^6,1\le a_i\le n,\sum n \le 3\cdot 10^6)$

Output

输出满足条件的 $B$ 序列的元素和的期望值，结果模 $10^9+7$

Sample Input

3
3
1 2 3
3
1 2 1
5
1 2 3 2 1

Sample Output

250000002
500000004
125000001

Solution

由于 $B$ 序列中两个数字相等的概率为 $0$ ，故可以认为 $B$ 中数字两两不同，继而将 $B$ 视作一个排列，由于 $A,B$ 是 $RMQ-Similar$ 的，对于 $A[i]$ ，假设其作为最大值的区间长度为 $x_i$ ，那么在 $B$ 中使得这 $x$ 个位置中 $B[i]$ 是最大值的概率为 $\frac{(x_i-1)!}{x_i!}=\frac{1}{x_i}$ ，进而得到 $B$ 序列满足条件的概率为 $\prod\limits_{i=1}^n\frac{1}{x_i}$ ，而 $B$ 的和的期望为 $\frac{n}{2}$ ，故答案即为 $\frac{n}{2\prod\limits_{i=1}^nx_i}$

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 1000005
#define mod 1000000007
int T,n,a[maxn],l[maxn],r[maxn],sta[maxn],p;
int inv[maxn];
int mul(int x,int y)
{
    ll z=1ll*x*y;
    return z-z/mod*mod; 
}
void init(int n=1e6)
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
}
void monotonic_stack()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)l[i]=r[i]=i;
    p=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!p||a[i]<=a[sta[p]])sta[++p]=i;
        else 
        {
            while(p&&a[i]>a[sta[p]])
                r[sta[p]]=i-1,p--;
            sta[++p]=i;
        }
    }
    while(p)r[sta[p]]=n,p--;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        if(!p||a[i]<a[sta[p]])sta[++p]=i;
        else 
        {
            while(p&&a[i]>=a[sta[p]])
                l[sta[p]]=i+1,p--;
            sta[++p]=i;
        }
    }
    while(p)l[sta[p]]=1,p--;
} 
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        monotonic_stack();
        int ans=mul(n,inv[2]);
        for(int i=1;i<=n;i++)ans=mul(ans,inv[r[i]-l[i]+1]);
        printf("%d\n",ans); 
    }
    return 0;
}