CodeForces 17 C.Balance（dp）

Description

给出一个长度为$n$的只由$a,b,c$组成的字符串，每次操作可以把一个字母变成其相邻的某个字母，定义一个字符串是平衡的当且仅当三个字母出现的次数相差不超过$1$，问这个字符串经过若干次操作可以变成多少个不同的平衡的字符串

Input

第一行一整数$n$表示字符串长度，之后输入一只由$'a','b','c'$组成的字符串$(1\le n\le 150)$

Output

输出该串经过若干次操作可以变成多少个不同的平衡的字符串

Sample Input

4
abca

Sample Output

7

Solution

设原串为$S$，操作后的平衡串为$T$，把$S$中连续的相同字母看作一段，容易看出每一段在从$S$变到$T$的过程中其长度会有所变化，有些段会消失，但是段间的有序性在操作过程中是不变的，我们按照段之间的顺序依次构造$T$串，故以$dp[i][a][b][c]$表示用$S$串前$i$个字符构造一个有$a$个$'a'$,$b$个$'b'$和$c$个$'c'$的字符串的方案数，当前步，要在已构造的串后继续加字符，假设要加一个$'a'$，我们就要用$S$串第$i$个字符之后的第一个$'a'$（包括第$i$个字符）来提供这个$'a'$，我们记第$i$个字符之后的第一个$'a','b','c'$的位置为$next[i][0/1/2]$，故有转移方程$dp[next[i][0]][a+1][b][c]+=dp[i][a][b][c]$，加$'b','c'$同理，对于每个$dp[i][a][b][c]$，只要$a+b+c=n$且这三个数任意两个数差值不超过$1$说明为合法解，累加到答案即可，时间复杂度$O(\frac{n^4}{27})$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mod 51123987
int n,nxt[155][3],dp[155][55][55][55];
char s[155];
void add(int &x,int y)
{
    x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int main()
{
    scanf("%d%s",&n,s+1);
    int now[3];
    memset(now,0,sizeof(now));
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        now[s[i]-'a']=i;
        for(int j=0;j<3;j++)nxt[i][j]=now[j];
    }
    dp[1][0][0][0]=1;
    int m=n/3+1,ans=0;
    for(int l=1;l<=n;l++)
        for(int i=0;i<=m;i++)
            for(int j=0;j<=m;j++)
                for(int k=0;k<=m;k++)
                {
                    if(i+j+k==n&&abs(i-j)<=1&&abs(j-k)<=1&&abs(i-k)<=1)add(ans,dp[l][i][j][k]);
                    if(nxt[l][0])add(dp[nxt[l][0]][i+1][j][k],dp[l][i][j][k]);
                    if(nxt[l][1])add(dp[nxt[l][1]][i][j+1][k],dp[l][i][j][k]);
                    if(nxt[l][2])add(dp[nxt[l][2]][i][j][k+1],dp[l][i][j][k]);
                }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}