GYM 101550 H.Highest Tower（机智）

最新推荐文章于 2020-06-14 18:41:54 发布

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本文介绍了一种解决矩形堆叠问题的高效算法，旨在通过旋转矩形并调整其排列顺序来最大化堆叠高度。该算法利用图论中的概念进行优化，并采用深度优先搜索实现。适用于大量数据处理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出 $n$ 个长方形的两边长，现在要把这些长方形适当旋转后排成一列，使得上一个长方形的宽严格小于下一个长方形的宽，问这 $n$ 个长方形总高度最大值

Input

第一行一整数 $n$ 表示长方形数量，之后 $n$ 行每行输入两个整数 $s,t$ 表示长方形的两边长 $(1\le n\le 250000,1\le s\le t\le 10^9)$ ，保证有解可以使得这 $n$ 个长方形摞成一列

Output

输出 $n$ 个长方形总高度最大值

Sample Input

3
50000 160000
50000 100000
50000 100000

Sample Output

200000

Solution

把边长编号，相同边长编号相同，把一个长方形看作是其两边长对应编号 $u,v$ 之间的一条无向边，记 $val[u]$ 为编号 $u$ 所代表的边的边长，那么题目所给限制即为不存在一个边长作为宽出现两次及以上，对于一条边 $u\leftrightarrow v$ ，也即一个长方形，如果我们定向 $u\rightarrow v$ 为宽 $val[u]$ 高 $val[v]$ ，定向 $v\rightarrow u$ 为宽 $val[v]$ 高 $val[u]$ ，则问题变成给所建无向图的每条边定向使得每个点的出度不超过 $1$ ，同时使得 $\sum\limits val[u]\cdot in[u]$ 最大，其中 $in[u]$ 为定向后 $u$ 点的入度，对该无向图的每个连通分支单独考虑，对于有 $x$ 个点的连通分支，设其边数为 $e$ ，由于每个点的出度不超过 $1$ ，故 $e\le x$ ，而连通分支满足 $e\ge x-1$ ，故有两种情况：

1. $e=x$ ，即该连通分支为一棵树加一条边，此时每点出度均需为 $1$ ，对答案贡献为 $\sum val[u]\cdot (deg[u]-1)$

2. $e=x-1$ ，即该连通分支为一棵树，此时有一点出度可以为 $0$ ，也即该点对答案的贡献从 $val[u]\cdot (deg[u]-1)$ 变为 $val[u]\cdot deg[u]$ ，为使答案尽可能大显然选 $val[u]$ 最大的

故 $dfs$ 所有连通分支将 $val[u]\cdot (deg[u]-1)$ 累加到答案里同时维护连通分支中点权最大值累加到答案即可，时间复杂度 $O(n)$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=500005;
map<int,int>m;
int n,val[maxn],vis[maxn];
vector<int>g[maxn];
int deg,Max;
ll ans;
void dfs(int u)
{
    if(vis[u])return ;
    vis[u]=1;
    deg+=g[u].size()-2;
    ans+=(ll)val[u]*(g[u].size()-1);
    Max=max(Max,val[u]);
    for(int i=0;i<g[u].size();i++)dfs(g[u][i]);
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        m.clear();
        int id=0;
        for(int i=1;i<maxn;i++)g[i].clear();
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int u,v,uu,vv;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            if(m.find(u)==m.end())m[u]=++id,val[id]=u,uu=id;
            else uu=m[u];
            if(m.find(v)==m.end())m[v]=++id,val[id]=v,vv=id;
            else vv=m[v];
            g[uu].push_back(vv),g[vv].push_back(uu);
        }
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        ans=0;
        for(int i=1;i<=id;i++)
            if(!vis[i])
            {
                deg=0,Max=0;
                dfs(i);
                if(deg<0)ans+=Max;
            }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}