CodeForces 712 D.Memory and Scores（dp）

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本文介绍了一个游戏得分策略问题，通过动态规划求解Memory与Lexa进行游戏后Memory得分高于Lexa的概率。阐述了如何利用dp[i][j]表示第i轮后得分差为j的方案数，并介绍了状态转移方程及优化后的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

$Memory$ 和他的朋友 $Lexa$ 玩游戏，起始两人分数分别为 $a,b$ ，每轮游戏，两人得分为 $[-k,k]$ 中的一个随机数，问 $t$ 轮后 $Memory$ 得分比 $Lexa$ 分数高的方案数

Input

四个整数 $a,b,k,t(1\le a,b\le 100,1\le k\le 1000,1\le t\le 100)$

Output

输出方案数，结果模 $10^9+7$

Sample Input

1 2 2 1

Sample Output

Solution

用 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 轮分差为 $j$ 的方案数，枚举第 $i$ 轮的分差 $l$ 有转移

$\begin{array}{rcl}dp[i][j]&=&\sum\limits_{l=0}^{2k}(2k+1-l)\cdot dp[i-1][j-l]+\sum\limits_{l=-2k}^{-1}(2k+1+l)\cdot dp[i-1][j-l] \\&=&dp[i][j-1]-\sum\limits_{l=1}^{2k+1}dp[i-1][j-l]+\sum\limits_{-2k}^0dp[i-1][j-l]\end{array}$

故只要维护 $dp[i-1]$ 的前缀和每次就可以 $O(1)$ 转移，时间复杂度 $O(t^2k)$ ，答案即为 $\sum\limits_{i>b-a}dp[t][i]$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=420000;
#define mod 1000000007
int a,b,k,t,dp[2][maxn],sum[maxn];
int n=400000,m=200000;
void add(int &x,int y)
{
    x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int Solve(int l,int r)
{
    l=max(1,l),r=min(r,n);
    return (sum[r]-sum[l-1]+mod)%mod;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&k,&t);
    int cur=0;
    dp[cur][m]=1;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        cur^=1;
        memset(dp[cur],0,sizeof(dp[cur]));
        sum[0]=dp[cur^1][0];
        for(int j=1;j<=n;j++)sum[j]=(sum[j-1]+dp[cur^1][j])%mod;
        for(int j=0;j<=n;j++)
        {
            if(j==0)
            {
                for(int l=0;l<=2*k;l++)
                    add(dp[cur][j],(ll)(2*k+1-l)*dp[cur^1][j+l]%mod);
            }
            else
            {
                dp[cur][j]=dp[cur][j-1];
                add(dp[cur][j],mod-Solve(j-2*k-1,j-1));
                add(dp[cur][j],Solve(j,j+2*k));
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=m+1+b-a;i<=n;i++)add(ans,dp[cur][i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}