CodeForces 724 G.Xor-matic Number of the Graph（组合数学+dfs+线性基）

Description

给出一个$n$个点$m$条边的无向图，每条边有边权，定义三元组$(u,v,s)$合法当且仅当$1\le u<v\le n$且存在一条从$u$到$v$的路径使得路径上边的权值异或和为$s$，问所有合法三元组的$s$值之和

Input

第一行两个整数$n,m$表示点数和边数，之后$m$行每行三个整数$u_i,v_i,w_i$表示$u_i,v_i$之间有一条权值为$w_i$的边

$(1\le n\le 10^5,0\le m\le 2\cdot 10^5,0\le w_i\le 10^{18})$

Output

输出所有合法三元组$s$值之和，结果模$10^9+7$

Sample Input

4 4
1 2 1
1 3 2
2 3 3
3 4 1

Sample Output

12

Solution

一个连通块内任意两点路径可以表示为这两点的一条简单路径和一个环组合而成，对于$u$点所处连通块的两点$v,w$，如果求出$v,w$到$u$的简单路径权值$dis[v]$和$dis[w]$，那么可知$v$到$w$的一条路径权值为$dis[v]$^$dis[w]$，然后异或上一个环的权值可以得到所有$v$到$w$的路径权值，而任意环的权值可以通过求出简单环的权值线性基表示出

现在考虑每一位对答案的贡献，即有多少点对，其路径权值在第$i$位是$1$，假设对于$u$点所处连通块，一遍$dfs$即可求出任一点$v$到$u$的简单路径权值$dis[v]$，且知道$dis[v]$中在第$i$位为$0$或$1$的个数$num[i][0]$和$num[i][1]$，且已经得到简单环的权值，求出其线性基为$a[1],...,a[m]$

如果存在某个基在第$i$位是$1$，那么有$2^{m-1}$种情况形成权值在第$i$位为$0$的环，同样的也有$2^{m-1}$种情况形成权值在第$i$位为$1$的环，这样一来，如果$dis[v]$和$dis[w]$在第$i$位相同，则异或完在该位就是$0$，加上一个权值在该位是$1$的环即可得到一条从$v$到$w$的权值在第$i$位为$1$的路径，如果$dis[v]$和$dis[w]$在第$i$位不同，则异或完在该位就是$1$，加上一个权值在该位是$0$的环同样可以得到一条从$v$到$w$的权值在第$i$位为$1$的路径，故对答案的贡献就是$2^i\cdot 2^{m-1}\cdot (C_{num[i][0]}^2+C_{num[i][1]}^2+num[i][0]\cdot num[i][1])$

如果没有基在第$i$位是$1$，那么这些基所能表示出的$2^m$个环的权值在第$i$位都是$0$，故若要得到一条从$v$到$w$的权值在第$i$位为$1$的路径，$dis[v]$和$dis[w]$在第$i$位必然不同，对答案贡献就是$2^i\cdot 2^m\cdot num[i][0]\cdot num[i][1]$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100005;
#define mod 1000000007
int n,m,vis[maxn],tot,head[maxn],cnt[66][2];
ll dis[maxn],base[66];
vector<ll>a;
struct node
{
    int v,next;
    ll w;
}g[4*maxn];
void add_edge(int u,int v,ll w)
{
    g[tot].v=v,g[tot].next=head[u],g[tot].w=w,head[u]=tot++;
}
void dfs(int u,ll d)
{
    dis[u]=d,vis[u]=1;
    for(int i=0;i<=62;i++)
        cnt[i][(dis[u]>>i)&1]++;
    for(int i=head[u];~i;i=g[i].next)
    {
        int v=g[i].v;
        ll w=g[i].w;
        if(vis[v])a.push_back(dis[u]^dis[v]^w);
        else dfs(v,dis[u]^w);
    }
}
void add(int &x,int y)
{
    x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
} 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    while(m--)
    {
        int u,v;
        ll w;
        scanf("%d%d%I64d",&u,&v,&w);
        add_edge(u,v,w),add_edge(v,u,w);        
    }
    int ans=0;
    for(int u=1;u<=n;u++)
        if(!vis[u])
        {
            a.clear();
            memset(base,0,sizeof(base));
            memset(cnt,0,sizeof(cnt));
            dfs(u,0);
            for(int i=0;i<a.size();i++)
                for(int j=62;j>=0;j--)
                    if((a[i]>>j)&1)
                    {
                        if(!base[j])
                        {
                            base[j]=a[i];
                            break;
                        }
                        else a[i]^=base[j];
                    }
            int num=0;
            for(int i=0;i<=62;i++)
                if(base[i])num++;
            for(int i=0;i<=62;i++)
            {
                int res=0,x=cnt[i][0],y=cnt[i][1],flag=0;
                for(int j=0;j<=62;j++)
                    if((base[j]>>i)&1)
                    {
                        flag=1;
                        break;
                    }
                if(flag)
                {
                    int tx=(ll)x*(x-1)/2%mod,ty=(ll)y*(y-1)/2%mod,tz=(1ll<<(num-1))%mod;
                    add(res,(ll)(tx+ty)%mod*tz%mod);
                    add(res,(ll)x*y%mod*tz%mod);
                }
                else 
                {
                    int tz=(1ll<<num)%mod; 
                    add(res,(ll)x*y%mod*tz%mod);
                }
                add(ans,(ll)(1ll<<i)%mod*res%mod);
            }
        }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}