CodeForces 229 E.Gifts（概率DP）

最新推荐文章于 2020-12-05 22:06:01 发布

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概率DP

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本文介绍了一种算法，用于计算从多种物品中选取特定数量的物品以达到最大价值组合的概率。通过排序并确定必选物品，利用动态规划求解剩余选择的概率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出 $m$ 种物品，第 $i$ 种物品有 $k_i$ 个，给出每个物品的价值（同一种物品价值不同），现在要从这些物品中选 $n$ 个使得其价值和最大，问可以取到最大价值和的概率

Input

第一行两个整数 $n,m$ ，之后 $m$ 行每行首先输入该种物品的数量 $k_i$ ，然后输入 $k_i$ 个整数 $val_{i,j}$ 表示每个物品的价值

$(1\le n,m\le 1000,\sum\limits k_i\le 1000,1\le val_{i,j}\le 10^9)$

Output

输出取到最大价值和的概率

Sample Input

3 1
3 10 20 30

Sample Output

1.000000000

Solution

所有物品中价值最大的一些物品肯定要拿，假设从第 $i$ 种物品中必须拿 $a_i$ 个， $\sum\limits_{i=1}^ma_i\le n$ ，当 $\sum\limits_{i=1}^ma_i<n$ 时表示有一些价值一样的物品要选 $res=n-\sum\limits_{i=1}^ma_i$ 个，令 $b_i$ 表示第 $i$ 种物品中该价值的物品数量（ $0$ 或 $1$ ），用 $dp[i][j]$ 表示选了那些必须拿的物品，且前 $i$ 种物品中要选 $j$ 个这种价值的物品的概率，显然 $dp[0][0]=\prod\limits_{i=1}^m\frac{1}{C_{k_i}^{a_i}}$ ，当第 $i$ 种物品中有该种价值的物品时( $b_i=1$ )，这块的概率由 $\frac{1}{C_{k_i}^{a_i}}$ 变成 $\frac{1}{C_{k_i}^{a_i+1}}$ ，即在原先答案上乘上 $\frac{a_i+1}{k_i-a_i}$ ，故有转移方程 $dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]\cdot \frac{a_i+1}{k_i-a_i}$ ， $dp[m][res]$ 即为答案，此题精度要求较高，用 $long\ double$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1005;
ld C[maxn][maxn],dp[maxn][maxn];
int n,m,size[maxn],a[maxn],b[maxn];
P val[maxn];
void init(int n=1000)
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    }
}
bool cmp(P x,P y)
{
    if(x.first!=y.first)return x.first>y.first;
    return x.second<y.second; 
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int tot=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d",&size[i]);
        for(int j=1;j<=size[i];j++)
        {
            int temp;
            scanf("%d",&temp);
            val[tot++]=P(temp,i); 
        }
    }
    sort(val,val+tot,cmp);
    int num=0,res=0;
    for(int i=0;i<tot;)
    {
        int j=i;
        while(j<tot-1&&val[j].first==val[j+1].first)j++;
        if(j<n)
            while(i<=j)a[val[i++].second]++;
        else
        {
            num=j-i+1,res=n-i;
            while(i<=j)b[val[i++].second]++;
            break;
        }
        if(i>=n)break;
    }
    dp[0][0]=1.0;
    for(int i=1;i<=m;i++)dp[0][0]/=C[size[i]][a[i]];
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=0;j<=res;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(b[i]&&j)dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]*(a[i]+1)/(size[i]-a[i]);
        }
    cout<<fixed<<setprecision(10)<<dp[m][res]/C[num][res]<<endl;
    return 0;
}