透视纹理校正公式推导

 

设直线方程为:            a * y + b * z = c
根据相似三角形:         p / y = d / z
==>                          y = p / d * z

代入直线方程得:         a * p / d * z + b * z = c
==>                          z = c / (a * p / d + b)
==>                          1 / z = (a * p / d + b) / c = (a / (c * d)) * p + b / c
设 k = (a/(c*d)) 且 m = b / c
==>                          1 / z = k * p + m

点(y1, z1)的投影点为(p1, d)
点(y2, z2)的投影点为(p2, d)

==>                          1 / z1 = k * p1 + m
                                 1 / z2 = k * p2 + m

对屏幕点p插值:          p = (1-t) * p1 + t * p2
代入公式:                  1 / z = k * p + m 
                                        = k * ( (1-t) * p1 + t * p2) + m 
                                        = (1-t) * k * p1 + t * k * p2 + m
                                        = (1-t) * k * p1 + t * k * p2 + m - t * m + t * m
                                        = (1-t) * k * p1 + (1-t) * m + t * k * p2 + t * m
                                        = (1-t) * (k * p1 + m) + t * (k * p2 + m)
                                        = (1-t) * (1 / z1) + t * (1 / z2)

所以在屏幕空间1 / z是线性变化的,而z不是

用上述公式来进行纹理坐标插值:

u / z = (1-t) * (u1 / z1) + t * (u2 / z2)

v / z = (1-t) * (v1 / z1) + t * (v2 / z2)

 结果都乘以z,就能得到当前象素的正确纹理坐标

### 透视变换公式推导过程 在计算机图形学和图像处理领域,透视变换是一种重要的几何变换技术,其核心目标是将三维空间中的点映射到二维平面上,模拟人类视觉系统的观察效果。以下是透视变换公式及其推导的关键步骤: #### 1. 基本概念 透视变换的核心在于通过投影矩阵实现从三维世界坐标系到二维屏幕坐标系的转换。这一过程中涉及多个阶段的变换,包括模型变换、视图变换以及投影变换[^2]。 #### 2. 投影变换的目标 假设有一个相机位于原点 \( (0, 0, 0) \),并面向负 Z 轴方向,则透视投影的主要任务是将三维点 \( P(x_w, y_w, z_w) \) 映射到二维平面 \( z = d \) 上的一个对应点 \( p'(x_p', y_p') \)[^3]。 #### 3. 数学推导 设原始点为 \( P(x_w, y_w, z_w) \),经过透视投影后的点为 \( P'(x_p', y_p', z_p') \)。根据相似三角形原理可得: \[ x_p' = x_w \cdot \frac{d}{z_w}, \quad y_p' = y_w \cdot \frac{d}{z_w} \] 其中 \( d \) 是投影平面的距离,通常取正值以确保正向投影[^1]。 为了便于计算,在实际应用中引入齐次坐标表示法。令齐次坐标形式为 \( [x_h, y_h, z_h, w_h]^T \),则有: \[ [x_h, y_h, z_h, w_h]^T = M_{proj} \cdot [x_w, y_w, z_w, 1]^T \] 最终的屏幕坐标可以通过除以齐次分量得到: \[ x_p' = \frac{x_h}{w_h}, \quad y_p' = \frac{y_h}{w_h} \] #### 4. 构建透视投影矩阵 对于标准透视投影矩阵 \( M_{proj} \),其一般形式如下所示: ```python import numpy as np def create_perspective_matrix(fovy, aspect_ratio, near_plane, far_plane): fovy_rad = np.radians(fovy / 2) tan_half_fov = np.tan(fovy_rad) m_proj = np.zeros((4, 4)) m_proj[0][0] = 1 / (aspect_ratio * tan_half_fov) m_proj[1][1] = 1 / tan_half_fov m_proj[2][2] = -(far_plane + near_plane) / (far_plane - near_plane) m_proj[2][3] = -2 * far_plane * near_plane / (far_plane - near_plane) m_proj[3][2] = -1 return m_proj ``` 该函数定义了一个基于视野角度(`fovy`)、宽高比(`aspect_ratio`)以及近远裁剪面距离(`near_plane`, `far_plane`)的标准透视投影矩阵[^3]。 --- ### 总结 透视变换公式的核心在于利用齐次坐标和投影矩阵完成三维到二维的空间映射。整个过程不仅依赖于基本的几何关系,还涉及到复杂的矩阵运算,从而实现了高效且精确的渲染效果[^2]。
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