RMQ问题之Sparse-Table算法

范围最小值问题（Range Minimum Query）

算法简述

给出一个数组，设计一个数据结构，支持查询操作，计算A[l]到A[r]的最小值。每次用一个循环来计算显然不够快，前缀和思想也不能提高效率。可以写一个线段树，但是预处理和查询的复杂度都是O（logn)。实践中最常用的是Tarjan的Sparse-Table算法，预处理时间是O(nlogn)，但是查询只需要O(1)，而且常数很小。最重要的是这个算法非常好写，并且不容易写错。

预处理

使用dp的思想方法。设a[i]是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1，2]=5，f[1，3]=8，f[2，0]=2，f[2，1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，Dp的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。f[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max（F[i，j-1],F[i+2^(j-i)，j-1]）。

查询操作

找到最大的k使得2^k<=(r-l+1)，这样以l开头，r结尾的长度为2^k的两个区间就可以完全覆盖查询区间。

例题：hdu 3183

对于序列A[1...N]，选取N-M个数，使组成的值最小，而且顺序不能交换，既然要选取N-M个，那么可以容易知道这N-M位数的第一位一定在数组A中的区间[1，M+1]中出现，为什么是这样呢？

假设A数组就只有6个数，分别是A[1]，A[2]，A[3]，A[4]，A[5]，A[6]，我们去掉M=2个数，使形成的值最小。那么我们此时的N=6,M=2，N-M=4。则我们说形成的4位数的第一位一定在区间[1，3]中出现，因为如果区间范围再大点，比如[1，4]，这样就不科学了，因为第一位一定不会是A[4]，更不会是A[5]，A[6]，我们假设可以是A[4]，那么后面只有A[5]，A[6]两位数了，这样的话最多只可能形成3位数，绝对不能形成N-M=4位了。

当然到了这里，我们就可以这样做了，第一位可以在区间[1，M+1]里面找，假设第一位在位置x，因为第二位肯定在第一位的后面，所以第二位一定存在于区间[x+1，M+2]，为什么是M+2,因为第一位已经确定了，现在只需要确定N-M-1位了，所以区间就可以向后增加1，一直这样循环下去，就可以找到了。（借鉴大牛的做法）

#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAX = 1010;


int n,m;
int dp[MAX][MAX];
char a[MAX],num[1010];

int Min(int i, int j){//返回小的元素的下标 便于操作
    if(a[i] <= a[j]) return i;
    return j;
}

void ST(){
    for(int i=0; i<n; i++) dp[i][0] = i;
    for(int j=1; j<=(int)(log((double)n)/log(2.0)); j++)//换底公式
        for(int i=0; (i+(1<<j)-1)<n; i++)
            dp[i][j] = Min(dp[i][j-1], dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

int Query(int l, int r){
    int k = (int)(log((double)(r-l+1))/log(2.0));
    return Min(dp[l][k], dp[r-(1 << k)+1][k]);
}

int main(){
    while(scanf("%s %d",a,&m) != EOF){
        n = strlen(a);
        m = n - m;
        ST();
        int i,j;
        i = j = 0;
        while(m--){
            i = Query(i, n-m-1);
            num[j++] = a[i++];
        }
        for(i=0; i<j; i++)
            if(num[i] != '0') break;
        if(i == j) {puts("0"); continue;}
        while(i < j){
            printf("%c",num[i]);
            i++;
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}